Esercizio scomposizione polinomio con 8 termini

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Esercizio scomposizione polinomio con 8 termini #77789

avt
matdom
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulle scomposizioni di polinomi che non sono in grado di svolgere. Il mio insegnante ha suggerito di procedere prima con un raccoglimento parziale e di usare in seguito il prodotto notevole relativo al cubo di un binomio.

Scomporre il seguente polinomio in fattori irriducibili

8a c^3+8bc^3+36ac^2d+36bc^2d+54acd^2+54bcd^2+27ad^3+27bd^3

Grazie.
 
 

Esercizio scomposizione polinomio con 8 termini #77790

avt
Omega
Amministratore
Per scomporre il polinomio

8a c^3+8bc^3+36ac^2d+36bc^2d+54acd^2+54bcd^2+27ad^3+27bd^3

in fattori irriducibili, abbiamo bisogno della tecnica del raccoglimento parziale e del prodotto notevole relativo allo sviluppo del cubo di un binomio, però quello che serve veramente è un "occhio matematico" ben allenato.

Raccogliamo a tra il primo, terzo, quinto e settimo addendo e b tra il secondo, quarto e sesto termine

\\ 8a c^3+8bc^3+36ac^2d+36bc^2d+54acd^2+54bcd^2+27ad^3+27bd^3=\\ \\ =a(8c^3+36c^2d+54cd^2+27d^3)+b(8c^3+36c^2d+54cd^2+27d^3)=

A questo punto raccogliamo totalmente il quadrinomio interno alle parentesi tonde

=(a+b)(8c^3+36c^2d+54cd^2+27d^3)

e osserviamo che il quadrinomio è lo sviluppo del cubo del binomio 2c+3d, infatti:

- il termine 8c^3 è il cubo di 2c;

- il termine 27d^3 è il cubo di 3d;

- i termini 36c^2d\ \mbox{e} \ 54cd^2 rappresentano invece i tripli prodotti.

Per convincercene, usiamo le proprietà delle potenze e svolgiamo i calcoli.

Il cubo di 2c è 8c^3, infatti:

(2c)^3=2^3c^3=8c^3

Il cubo di 3d è 27d^3, infatti:

(3d)^3=3^3d^3=27d^3

Per quanto concerne i tripli prodotti, scopriamo che:

- il triplo prodotto tra il quadrato di 2c e 3d è:

3\cdot(2c)^2\cdot 3d= 3\cdot 4c^2\cdot 3d=36c^2d

- il triplo prodotto tra 2c e il quadrato di 3d è:

3\cdot (2c)\cdot (3d)^2=3\cdot 2c\cdot 9d^2=54cd^2

I calcoli fatti confermano che il quadrinomio è lo sviluppo del cubo di 2c+3d, ossia:

8c^3+36c^2d+54cd^2+27d^3=(2c+3d)^3

di conseguenza, la scomposizione del polinomio iniziale è:

\\ 8a c^3+8bc^3+36ac^2d+36bc^2d+54acd^2+54bcd^2+27ad^3+27bd^3= \\ \\ = (a+b)(2c+3d)^3

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, CarFaby, matdom
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Os