Equazione trigonometrica con confronto tra tangenti

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Equazione trigonometrica con confronto tra tangenti #77729

avt
FAQ
Punto
Mi servirebbe una mano per calcolare le soluzioni di un'equazione trigonometrica usando il metodo del confronto degli argomenti. I membri dell'equazione sono composti da due tangenti, con cui ho ancora poca dimestichezza.

Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, calcolare le soluzioni della seguente equazione trigonometrica:

\tan(2x)=-\tan(3x)

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Equazione trigonometrica con confronto tra tangenti #77862

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito prevede di risolvere l'equazione goniometrica

\tan(2x)=-\tan(3x)

ma prima di operare qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le condizioni di esistenza per le tangenti.

Ricordiamo che la tangente di un angolo è ben posta nel momento in cui l'angolo è diverso da \frac{\pi}{2}+h\pi dove h è un numero intero. Nel caso in esame, ricaviamo due vincoli:

\\ 2x\ne\frac{\pi}{2}+h\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{h\pi}{2} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ 3x\ne\frac{\pi}{2}+h\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne\frac{\pi}{6}+\frac{h\pi}{3}

al variare di h\in\mathbb{Z}

Alla luce di queste considerazioni, possiamo affermare che l'insieme di esistenza delle soluzioni è definito dai seguenti vincoli:

C.E. \ : \ x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{h\pi}{2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\ne\frac{\pi}{6}+\frac{h\pi}{3}

al variare di h nell'insieme dei numeri interi.

Torniamo all'equazione

\tan(2x)=-\tan(3x)

Per poter ricavare le soluzioni, sfruttiamo il fatto che la tangente è una funzione dispari, per cui soddisfa l'uguaglianza

-\tan(3x)=\tan(-3x) \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\ne\frac{\pi}{6}+\frac{h\pi}{3}

Quest'uguaglianza consente di riscrivere l'equazione nella forma equivalente:

\tan(2x)=\tan(-3x)

A questo punto interviene la regola che afferma quanto segue: due angoli hanno la stessa tangente se soddisfano le condizioni di esistenza e se differiscono di un numero intero di angoli piatti. Questa regola si traduce nell'equazione di primo grado nell'incognita x

2x=-3x+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

da cui

5x=k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{k\pi}{5} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

che rappresentano le soluzioni dell'equazione iniziale.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby
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Os