Differenza di due polinomi con numeri periodici

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Differenza di due polinomi con numeri periodici #77542

avt
TheMaths
Punto
Dovrei calcolare la differenza di due polinomi a coefficienti decimali periodici. C'è solo un piccolo problema: non ricordo più come si calcolano le frazioni generatrici, per cui non riesco a portare a termine il mio compito. Potreste aiutarmi, per favore?

Dati i polinomi

P=-1,1\overline{6}x y-0,8\overline{3}y^2x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ Q=-1,41\overline{6}xy+1,08\overline{3}y^2x-0,\overline{5}

determinare la differenza P-Q, dopo aver espresso i coefficienti periodici dei polinomi nelle rispettive frazioni generatrici.

Grazie.
 
 

Differenza di due polinomi con numeri periodici #77551

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare la differenza tra i polinomi

P=-1,1\overline{6}x y-0,8\overline{3}y^2x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ Q=-1,41\overline{6}xy+1,08\overline{3}y^2x-0,\overline{5}

non prima di aver espresso i numeri periodici nelle rispettive frazioni generatrici.

Apriamo una breve parentesi di carattere teorico sui numeri periodici. La frazione generatrice associata a un numero periodico è quella frazione che ha:

- al numeratore, la differenza tra il numero senza virgola e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo;

- al denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Se possibile, riduciamo la frazione ai minimi termini.

La regola garantisce le seguenti uguaglianze:

\\ 1,1\overline{6}=\frac{116-11}{90}=\frac{105}{90}=\frac{7}{6} \\ \\ \\ 0,8\overline{3}=\frac{83-8}{90}=\frac{75}{90}=\frac{5}{6}\\ \\ \\ 1,41\overline{6}=\frac{1416-141}{900}=\frac{1275}{900}=\frac{17}{12}\\ \\ \\ 1,08\overline{3}=\frac{1083-108}{900}=\frac{975}{900}=\frac{13}{12}\\ \\ \\ 0,\overline{5}=\frac{5}{9}

Alla luce di ciò, i polinomi P \ \mbox{e} \ Q diventano:

P=-\frac{7}{6}x y-\frac{5}{6}y^2x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ Q=-\frac{17}{12}xy+\frac{13}{12}y^2x-\frac{5}{9}

Ora che i coefficienti sono espressi in forma frazionaria, sarà più semplice calcolare la differenza tra i polinomi: scriviamo P\ \mbox{e} \ Q uno di seguito all'altro, separandoli dal simbolo di sottrazione - e racchiudendo tra parentesi Q.

P-Q=-\frac{7}{6}xy-\frac{5}{6}y^2x-\left(-\frac{17}{12}x y+\frac{13}{12}y^2x-\frac{5}{9}\right)=

A questo punto, sbarazziamoci delle parentesi tonde, usando a dovere la regola dei segni: cambieremo i segni dei termini che le parentesi racchiudono.

=-\frac{7}{6}xy-\frac{5}{6}y^2x+\frac{17}{12}x y-\frac{13}{12}y^2x+\frac{5}{9}=

Aiutiamo il colpo d'occhio sottolineando i monomi simili, dopodiché sommiamo algebricamente i loro coefficienti

\\ =-\underline{\frac{7}{6}xy}-\underline{\underline{\frac{5}{6}y^2x}}+\underline{\frac{17}{12}x y}-\underline{\underline{\frac{13}{12}y^2x}}+\frac{5}{9}= \\ \\ \\ =\left(-\frac{7}{6}+\frac{17}{12}\right)xy+\left(-\frac{5}{6}-\frac{13}{12}\right)y^2 x+\frac{5}{9}=

Siamo quasi giunti alla fine! Basta, infatti, esplicitare le somme tra le frazioni e ridurre i risultati ai minimi termini

\\ =\left(\frac{-14+17}{12}\right)xy+\left(\frac{-10-13}{12}\right)y^2 x+\frac{5}{9}= \\ \\ \\ =\frac{3}{12}xy-\frac{23}{12}y^2 x+\frac{5}{9}

Ecco fatto!
Ringraziano: TheMaths
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Os