Equazione trinomia di grado superiore al secondo per sostituzione

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Equazione trinomia di grado superiore al secondo per sostituzione #77493

avt
Martiluna
Punto
Dovrei risolvere un esercizio alquanto bizzarro in cui mi viene chiesto di risolvere un'equazione trinomia mediante sostituzione. Il mio problema risiede è che non capisco qual è la sostituzione, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione trinomia avvalendosi di un'opportuna sostituzione

(x^2-1)^2-3(x^2-1)-4=0

Grazie.
 
 

Equazione trinomia di grado superiore al secondo per sostituzione #77500

avt
Pi Greco
Kraken
Per determinare le soluzioni dell'equazione trinomia

(x^2-1)^2-3(x^2-1)-4=0

bisogna prima di tutto notare come il polinomio x^2-1 si ripeta al primo membro: è infatti questa caratteristica che suggerisce qual è la sostituzione che consentirà di risolvere l'esercizio.

Se poniamo t=x^2-1 allora il quadrato di t coincide con (x^2-1)^2, di conseguenza possiamo riscrivere l'equazione trinomia come

t^2-3t-4=0

In buona sostanza, la sostituzione ha permesso di ricondurci a un'equazione di secondo grado nell'incognita t i cui coefficienti sono:

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-3 \ \ \  ,\ \ \ c=-4

Calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25

Poiché è positivo, l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte, ottenibili con la relazione

t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2}=\begin{cases}\frac{3-5}{2}=-1=t_1\\ \\ \frac{3+5}{2}=4=t_2\end{cases}

Le soluzioni in t sono dunque:

t=-1 \ \ \ , \ \ \ t=4

A questo punto dobbiamo ripristinare l'incognita x, sfruttando la sostituzione usata. Poiché t=x^2-1 le relazioni precedenti si tramutano in due equazioni pure

x^2-1=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x^2-1=4

La prima ha due soluzioni reali e coincidenti

x^2-1=-1 \ \ \ \to \ \ \ x^2=0 \ \ \ \to \ \ \ x_{1,2}=0

mentre la seconda è soddisfatta da due valori reali e distinti

x^2-1=4 \ \ \ \to \ \ \ x^2=5 \ \ \ \to \ \ \ x_{3,4}=\pm\sqrt{5}

Tiriamo le somme: l'equazione trinomia ammette quattro soluzioni di cui due coincidenti

x_1=0, \ x_2=0, \ x_3=-\sqrt{5},\ x_4=\sqrt{5}

e il suo insieme delle soluzioni è

S=\left\{-\sqrt{5},\ 0,\ \sqrt{5}\right\}

L'esercizio è risolto.
Ringraziano: Omega
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Os