Equazione trinomia di grado superiore al secondo per sostituzione

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Equazione trinomia di grado superiore al secondo per sostituzione #77493

avt
Martiluna
Punto
Dovrei risolvere un esercizio alquanto bizzarro in cui mi viene chiesto di risolvere un'equazione trinomia mediante sostituzione. Il mio problema risiede è che non capisco qual è la sostituzione, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione trinomia avvalendosi di un'opportuna sostituzione

(x^2-1)^2-3(x^2-1)-4 = 0

Grazie.
 
 

Equazione trinomia di grado superiore al secondo per sostituzione #77500

avt
Pi Greco
Kraken
Per determinare le soluzioni dell'equazione trinomia

(x^2-1)^2-3(x^2-1)-4 = 0

bisogna prima di tutto notare come il polinomio x^2-1 si ripeta al primo membro: è infatti questa caratteristica che suggerisce qual è la sostituzione che consentirà di risolvere l'esercizio.

Se poniamo t = x^2-1 allora il quadrato di t coincide con (x^2-1)^2, di conseguenza possiamo riscrivere l'equazione trinomia come

t^2-3t-4 = 0

In buona sostanza, la sostituzione ha permesso di ricondurci a un'equazione di secondo grado nell'incognita t i cui coefficienti sono:

a = 1 , b = -3 , c = -4

Calcoliamo il discriminante associato con la formula

Δ = b^2-4ac = (-3)^2-4·1·(-4) = 9+16 = 25

Poiché è positivo, l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte, ottenibili con la relazione

t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-3)±√(25))/(2) = (3-5)/(2) = -1 = t_1 ; (3+5)/(2) = 4 = t_2

Le soluzioni in t sono dunque:

t = -1 , t = 4

A questo punto dobbiamo ripristinare l'incognita x, sfruttando la sostituzione usata. Poiché t = x^2-1 le relazioni precedenti si tramutano in due equazioni pure

x^2-1 = -1 e x^2-1 = 4

La prima ha due soluzioni reali e coincidenti

x^2-1 = -1 → x^2 = 0 → x_(1,2) = 0

mentre la seconda è soddisfatta da due valori reali e distinti

x^2-1 = 4 → x^2 = 5 → x_(3,4) = ±√(5)

Tiriamo le somme: l'equazione trinomia ammette quattro soluzioni di cui due coincidenti

x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = -√(5), x_4 = √(5)

e il suo insieme delle soluzioni è

S = -√(5), 0, √(5)

L'esercizio è risolto.
Ringraziano: Omega
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Os