Esercizio equazione trigonometrica lineare in seno e coseno

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Esercizio equazione trigonometrica lineare in seno e coseno #77373

avt
ArmoniaMusicae
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica con seno e coseno. Nonostante le abbia provate tutte, non riesco proprio a capire come ottenere le soluzioni. Il mio professore ha suggerito di usare le formule parametriche, ma i calcoli diventano praticamente impossibili.

Risolvere la seguente equazione lineare in seno e coseno

(2+\sqrt{3})\sin(x)-\cos(x)+2+\sqrt{3}=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby, BleakHeart
 
 

Esercizio equazione trigonometrica lineare in seno e coseno #77394

avt
Ifrit
Ambasciatore
In generale, per risolvere le equazioni lineari in seno e coseno possiamo avvalerci di tre tecniche:

- il metodo algebrico, che consiste nell'usare le formule parametriche;

- il metodo dell'angolo aggiunto, che consente di tramutare ogni equazione lineare in un'equazione goniometrica elementare;

- il metodo grafico, per il quale si richiede di risolvere un sistema non lineare di due equazioni in due incognite.

Per ottenere le soluzioni dell'equazione

(2+\sqrt{3})\sin(x)-\cos(x)+2+\sqrt{3}=0

sfrutteremo il metodo algebrico. Poiché le formule parametriche valgono se

x\ne \pi +2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

dobbiamo verificare se x=\pi è soluzione dell'equazione data. Sostituiamo alla x il valore \pi e svolgiamo i calcoli

\\ (2+\sqrt{3})\sin(\pi)-\cos(\pi)+2+\sqrt{3}=0 \\ \\ 3+\sqrt{3}=0

Chiaramente è un'uguaglianza impossibile, dunque possiamo affermare che x=\pi non è soluzione dell'equazione data, così come non lo sono i valori \pi+2k\pi.

Per x\ne\pi+2k\pi siamo autorizzati a porre

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

dove \tan\left(\frac{x}{2}\right) è la tangente di \frac{x}{2}.

Grazie a essa, siamo in grado di esprimere seno e coseno in termini di t

\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2} \ \ \ , \ \ \ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

con cui l'equazione diventa

(2+\sqrt{3})\cdot\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+2+\sqrt{3}=0

si tramuta cioè in un'equazione fratta di secondo grado nell'incognita t

Sommiamo le frazioni algebriche al primo membro

\frac{(2+\sqrt{3})\cdot 2t-(1-t^2)+(2+\sqrt{3})(1+t^2)}{1+t^2}=0

cancelliamo il denominatore comune, espandiamo i prodotti e sommiamo tra loro i monomi simili così da ricavare

\\ \sqrt{3}t^2+3t^2+2\sqrt{3}t+4t+1+\sqrt{3}=0 \\ \\ (3+\sqrt{3})t^2+2(2+\sqrt{3})t+1+\sqrt{3}=0

vale a dire un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=3+\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \  b=2(2+\sqrt{3}) \ \ \ , \ \ \ c=1+\sqrt{3}

Poiché il coefficiente di x è facilmente divisibile per due, sfruttiamo la formula del delta quarti per ricavare le soluzioni

\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-a c= (2+\sqrt{3})^2- (3+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=

Svolgiamo i vari prodotti, prestando la massima attenzione ai radicali

=7+4\sqrt{3}-(6+4\sqrt{3})=1

Pertanto le soluzioni sono

\\ t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-(2+\sqrt{3})\pm\sqrt{1}}{3+\sqrt{3}}=\\ \\ \\ =\frac{-2-\sqrt{3}\pm 1}{3+\sqrt{3}}=\begin{cases}\frac{-3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=t_1\\ \\ \frac{-1-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=t_2\end{cases}

Prima di continuare, riteniamo sia fondamentale semplificare il più possibile i radicali cominciando dal primo valore:

\frac{-3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=-\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=-1

Per quanto concerne il secondo valore

\frac{-1-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=

possiamo razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo per 3-\sqrt{3} e scrivere:

=\frac{(-1-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{-2\sqrt{3}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}

In definitiva, le soluzioni dell'equazione di secondo grado in t sono:

t=-1 \ \ \  , \ \ \ t=-\frac{\sqrt{3}}{3}

Chiaramente dobbiamo ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

mediante la quale la relazione t=-1 si traduce nell'equazione elementare in tangente

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=-1

Per risolverla è sufficiente ricordare che la tangente è uguale a -1 nel momento in cui il suo argomento è uguale a -\frac{\pi}{4}+k\pi con k numero intero. In termini più espliciti, dobbiamo risolvere l'equazione di primo grado

\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove k\in\mathbb{Z}.

La relazione t=-\frac{\sqrt{3}}{3} si traduce nell'equazione elementare

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}

Ricordando che la tangente coincide con -\frac{\sqrt{3}}{3} se il suo argomento è uguale a -\frac{\pi}{6}+k\pi, possiamo impostare l'equazione nell'incognita x

\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{6}+k\pi

da cui, moltiplicando a destra e a sinistra per 2, ricaviamo

x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Siamo finalmente in grado di concludere che l'equazione

(2+\sqrt{3})\sin(x)-\cos(x)+2+\sqrt{3}=0

è soddisfatta da

x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi

dove k è un numero intero.

Abbiamo finito!
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