Equazione trigonometrica con confronto tra seni e argomenti fratti

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Equazione trigonometrica con confronto tra seni e argomenti fratti #76898

avt
ninagarcia91
Punto
Come faccio a risolvere un'equazione goniometrica fratta in cui compaiono seni con gli argomenti fratti? Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, e usato le regole risolutive, ottengo un'equazione parametrica che non sono in grado di portare a termine. Potreste aiutarmi?

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin\left(\frac{\pi x}{x+1}\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{x+1}\right)

Grazie mille.
Ringraziano: Omega
 
 

Equazione trigonometrica con confronto tra seni e argomenti fratti #76932

avt
Omega
Amministratore
Per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin\left(\frac{\pi x}{x+1}\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{x+1}\right)

bisogna innanzitutto richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero, vale a dire:

C.E.: \ x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

Imposte le condizioni di esistenza, dobbiamo ricorrere alla seguente regola:

due angoli hanno lo stesso seno se e solo se sono uguali, a meno di 2k\pi, oppure se sono angoli supplementari, a meno di 2k\pi.

Usando questa regola, ricaviamo due equazioni fratte dipendenti dal parametro k\in\mathbb{Z}:

\\ \frac{\pi x}{x+1}=\frac{2\pi}{x+1}+2k\pi \\ \\ \mbox{e} \\ \\ \frac{\pi x}{x+1}=\pi-\frac{2\pi}{x+1}+2k\pi

Risolviamo la prima moltiplicando i due membri per x+1

\\ \frac{\pi x}{x+1}=\frac{2\pi}{x+1}+2k\pi \\ \\ \\ \pi x=2\pi +2k\pi (x+1) \\ \\ \pi x=2\pi+2k\pi x+2k\pi

Ci siamo ricondotti a un'equazione parametrica di primo grado. Trasportiamo i termini con l'incognita al primo membro

\pi x-2k\pi x=2\pi+2k\pi

svolgiamo i calcoli e dividiamo in seguito per \pi

\\ \pi (1-2k) x=2\pi (1+k) \\ \\ (1-2k)x=2+2k

Se il coefficiente di x è uguale a zero, ossia se:

1-2k=0 \ \ \ \to \ \ \ k=\frac{1}{2}

l'equazione (1-2k)x=2+2k è impossibile perché conduce alla seguente uguaglianza falsa:

0=1+2\cdot\frac{1}{2} \ \ \ \to \ \ \ 0=2

Se il coefficiente di x è diverso da zero, ossia se:

1-2k\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ne \frac{1}{2}

l'equazione (1-2k)x=2+2k è soddisfatta per il valore che si ottiene dividendo i due membri per 1-2k:

x=\frac{2+2k}{1-2k}

Nota: dobbiamo escludere i valori di k che rendono vera l'uguaglianza x=-1, perché violano la condizione x\ne -1. Consideriamo quindi la relazione

x=-1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{2+2k}{1-2k}=-1

e risolviamola rispetto a k, moltiplicando i due membri per 1-2k

2+2k=-(1-2k)\ \ \ \to \ \ \ 2+2k=2k-1

da cui 2=-1. Poiché abbiamo ottenuto un'uguaglianza falsa, possiamo affermare che non esiste alcun valore di k per cui x=-1, pertanto:

x=\frac{2+2k}{1-2k}

è soluzione dell'equazione iniziale al variare di k\in\mathbb{Z}.

Occupiamoci della seconda equazione

\frac{\pi x}{x+1}=\pi -\frac{2\pi}{x+1}+2k\pi

Una volta espressi i due membri a denominatore comune, e una volta cancellati, otteniamo l'equazione parametrica:

\pi x = \pi (x+1)-2\pi +2k\pi (x+1)

Svolgiamo i calcoli e scriviamo l'equazione in forma normale:

\\ \pi x= \pi x+\pi -2\pi +2k\pi x +2k\pi \\ \\ 2k\pi x=(1-2k)\pi

A questo punto dividiamo i due membri per \pi

2kx=1-2k

e iniziamo la discussione dell'equazione parametrica.

Se il coefficiente di x è uguale a zero, ossia se k=0, l'equazione diventa impossibile, perché otteniamo 0=1.

Se k\ne 0, possiamo dividere a destra e a sinistra per 2k e ricavare le soluzioni:

x=\frac{1-2k}{2k}

Nota: dobbiamo escludere gli eventuali valori di k per cui x=-1, perché violano le condizioni di esistenza.

x=-1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{1-2k}{2k}=-1 \ \ \ \to \ \ \ 1-2k=-2k

Cancellato -2k, comprendiamo che l'equazione è impossibile perché si riduce alla relazione falsa 1=0.

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione fratta

\sin\left(\frac{\pi x}{x+1}\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{x+1}\right)

è soddisfatta da due famiglie di soluzioni:

x=\frac{2+2k}{1-2k} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ x=\frac{1-2k}{2k} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}-\{0\}

Ecco fatto.
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