Equazione trigonometrica con confronto tra seni e argomenti fratti

Come faccio a risolvere un'equazione goniometrica fratta in cui compaiono seni con gli argomenti fratti? Dopo aver imposto le condizioni di esistenza, e usato le regole risolutive, ottengo un'equazione parametrica che non sono in grado di portare a termine. Potreste aiutarmi?

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione goniometrica



Grazie mille.

Per ricavare le eventuali soluzioni dell'equazione goniometrica



bisogna innanzitutto richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero, vale a dire:



Imposte le condizioni di esistenza, dobbiamo ricorrere alla seguente regola:

due angoli hanno lo stesso seno se e solo se sono uguali, a meno di , oppure se sono angoli supplementari, a meno di .

Usando questa regola, ricaviamo due equazioni fratte dipendenti dal parametro :



Risolviamo la prima moltiplicando i due membri per



Ci siamo ricondotti a un'equazione parametrica di primo grado. Trasportiamo i termini con l'incognita al primo membro



svolgiamo i calcoli e dividiamo in seguito per



Se il coefficiente di è uguale a zero, ossia se:



l'equazione è impossibile perché conduce alla seguente uguaglianza falsa:



Se il coefficiente di è diverso da zero, ossia se:



l'equazione è soddisfatta per il valore che si ottiene dividendo i due membri per :



Nota: dobbiamo escludere i valori di che rendono vera l'uguaglianza , perché violano la condizione . Consideriamo quindi la relazione



e risolviamola rispetto a , moltiplicando i due membri per



da cui . Poiché abbiamo ottenuto un'uguaglianza falsa, possiamo affermare che non esiste alcun valore di per cui , pertanto:



è soluzione dell'equazione iniziale al variare di .

Occupiamoci della seconda equazione



Una volta espressi i due membri a denominatore comune, e una volta cancellati, otteniamo l'equazione parametrica:



Svolgiamo i calcoli e scriviamo l'equazione in forma normale:



A questo punto dividiamo i due membri per



e iniziamo la discussione dell'equazione parametrica.

Se il coefficiente di è uguale a zero, ossia se , l'equazione diventa impossibile, perché otteniamo .

Se , possiamo dividere a destra e a sinistra per e ricavare le soluzioni:



Nota: dobbiamo escludere gli eventuali valori di per cui , perché violano le condizioni di esistenza.



Cancellato , comprendiamo che l'equazione è impossibile perché si riduce alla relazione falsa .

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione fratta



è soddisfatta da due famiglie di soluzioni:



Ecco fatto.