Equazione fratta con termini esponenziali

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Equazione fratta con termini esponenziali #76777

Stirpy Punto	Dovrei risolvere un'equazione esponenziale fratta e con valore assoluto. Il mio insegnante ha suggerito di usare le proprietà delle potenze per ricondurmi alla forma normale, però non capisco quali. Determinare le soluzioni dell'equazione esponenziale fratta Grazie.

Equazione fratta con termini esponenziali #76888

Omega

Amministratore

Prima di procedere con la risoluzione dell'equazione esponenziale

(9^((1)/(|x|))·3^((x)/(|x|(x+1))))/(27^((x)/(x+1)))-1 = 0

bisogna richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero: in caso contrario l'equazione perderebbe di significato. Imponiamo quindi le condizioni di esistenza, separate dal connettivo logico

per indicare che devono valere contemporaneamente

e analizziamole una alla volta. La prima si risolve affermando che il valore assoluto è diverso da zero se e solo se lo è anche il suo argomento:

Per analizzare la seconda, usiamo la legge di annullamento del prodotto che garantisce la seguente implicazione

da cui

Dalla terza relazione ricaviamo

, infatti:

L'equazione è ben posta se e solo se sussistono le seguenti condizioni

Nota: il termine

è certamente diverso da zero per ogni

perché la funzione esponenziale è sempre positiva (dunque non nulla) ove definita.

Torniamo all'equazione e usiamo le proprietà delle potenze per fare in modo che i termini esponenziali abbiano la stessa base: sottolineiamo infatti che le basi sono potenze di 3.

((3^2)^((1)/(|x|))·3^((x)/(|x|(x+1))))/((3^3)^((x)/(x+1)))-1 = 0

Utilizzando la regola relativa alla potenza di una potenza, l'equazione diventa:

(3^(2·(1)/(|x|))·3^((x)/(|x|(x+1))))/(3^(3·(x)/(x+1)))-1 = 0 ; (3^((2)/(|x|))·3^((x)/(|x|(x+1))))/(3^((3x)/(x+1)))-1 = 0

Grazie alla regola sul prodotto di due potenze che hanno la stessa base, possiamo esprimere il numeratore sotto forma di un'unica potenza avente per base 3 e per esponente la somma degli esponenti

(3^((2)/(|x|)+(x)/(|x|(x+1))))/(3^((3x)/(x+1)))-1 = 0

Sfruttiamo inoltre la proprietà sul quoziente di due potenze aventi la stessa base, grazie alla quale l'equazione si riscrive come segue:

A questo punto isoliamo il termine esponenziale al primo membro, trasportando -1 al secondo cambiandolo di segno

scriviamo 1 come 3 alla zero

e, poiché che i due membri sono potenze con la stessa base, uguagliamo gli esponenti

Ci siamo ricondotti a un'equazione fratta con valore assoluto: per risolverla, esprimiamo gli addendi a denominatore comune

dopodiché moltiplichiamo a destra e a sinistra per

Per poter determinare le soluzioni dell'equazione con valore assoluto, dobbiamo necessariamente studiare il segno dell'argomento di quest'ultimo e riscrivere la relazione sfruttando la definizione di modulo.

Se

allora

, conseguentemente

si trasforma nell'equazione di secondo grado

Calcoliamo il discriminante associato con la formula

pertanto le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (3±√(33))/(6) = (3-√(33))/(6) = x_1 ; (3+√(33))/(6) = x_2

Attenzione:

non è accettabile perché viola la condizione

, mentre

è soluzione dell'equazione data perché soddisfa le condizioni di esistenza.

Consideriamo l'altro caso: se

, allora

e l'equazione

diventa

Il discriminante associato all'equazione è negativo, infatti

pertanto l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni.

In definitiva, siamo autorizzati a concludere che

è l'unica soluzione dell'equazione

(9^((1)/(|x|))·3^((x)/(|x|(x+1))))/(27^((x)/(x+1)))-1 = 0

Ecco fatto!

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