Equazione fratta con termini esponenziali

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione fratta con termini esponenziali #76777

avt
Stirpy
Punto
Dovrei risolvere un'equazione esponenziale fratta e con valore assoluto. Il mio insegnante ha suggerito di usare le proprietà delle potenze per ricondurmi alla forma normale, però non capisco quali.

Determinare le soluzioni dell'equazione esponenziale fratta

\frac{9^{\tfrac{1}{|x|}}\cdot 3^{\tfrac{x}{|x|(x+1)}}}{27^{\tfrac{x}{x+1}}}-1=0

Grazie.
 
 

Equazione fratta con termini esponenziali #76888

avt
Omega
Amministratore
Prima di procedere con la risoluzione dell'equazione esponenziale

\frac{9^{\tfrac{1}{|x|}}\cdot 3^{\tfrac{x}{|x|(x+1)}}}{27^{\tfrac{x}{x+1}}}-1=0

bisogna richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero: in caso contrario l'equazione perderebbe di significato. Imponiamo quindi le condizioni di esistenza, separate dal connettivo logico \wedge per indicare che devono valere contemporaneamente

|x|\ne 0 \ \ \wedge \ \ |x|(x+1)\ne 0 \ \ \wedge \ \ x+1\ne 0

e analizziamole una alla volta. La prima si risolve affermando che il valore assoluto è diverso da zero se e solo se lo è anche il suo argomento:

|x|\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 0

Per analizzare la seconda, usiamo la legge di annullamento del prodotto che garantisce la seguente implicazione

|x|(x+1)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ |x|\ne 0 \ \ \wedge \ \ x+1\ne 0

da cui

x\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -1

Dalla terza relazione ricaviamo x\ne -1, infatti:

x+1\ne 0

L'equazione è ben posta se e solo se sussistono le seguenti condizioni

C.E. : \ x\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -1

Nota: il termine 27^{\frac{x}{x+1}} è certamente diverso da zero per ogni x\ne -1 perché la funzione esponenziale è sempre positiva (dunque non nulla) ove definita.

Torniamo all'equazione e usiamo le proprietà delle potenze per fare in modo che i termini esponenziali abbiano la stessa base: sottolineiamo infatti che le basi sono potenze di 3.

\frac{(3^2)^{\tfrac{1}{|x|}}\cdot 3^{\tfrac{x}{|x|(x+1)}}}{(3^3)^{\tfrac{x}{x+1}}}-1=0

Utilizzando la regola relativa alla potenza di una potenza, l'equazione diventa:

\\ \frac{3^{2\cdot\tfrac{1}{|x|}}\cdot 3^{\tfrac{x}{|x|(x+1)}}}{3^{3\cdot\tfrac{x}{x+1}}}-1=0 \\ \\ \\ \frac{3^{\tfrac{2}{|x|}}\cdot 3^{\tfrac{x}{|x|(x+1)}}}{3^{\tfrac{3x}{x+1}}}-1=0

Grazie alla regola sul prodotto di due potenze che hanno la stessa base, possiamo esprimere il numeratore sotto forma di un'unica potenza avente per base 3 e per esponente la somma degli esponenti

\frac{3^{\tfrac{2}{|x|}+\tfrac{x}{|x|(x+1)}}}{3^{\tfrac{3x}{x+1}}}-1=0

Sfruttiamo inoltre la proprietà sul quoziente di due potenze aventi la stessa base, grazie alla quale l'equazione si riscrive come segue:

3^{\tfrac{2}{|x|}+\tfrac{x}{|x|(x+1)}-\tfrac{3x}{x+1}}-1=0

A questo punto isoliamo il termine esponenziale al primo membro, trasportando -1 al secondo cambiandolo di segno

3^{\tfrac{2}{|x|}+\tfrac{x}{|x|(x+1)}-\tfrac{3x}{x+1}}=1

scriviamo 1 come 3 alla zero

3^{\tfrac{2}{|x|}+\tfrac{x}{|x|(x+1)}-\tfrac{3x}{x+1}}=3^{0}

e, poiché che i due membri sono potenze con la stessa base, uguagliamo gli esponenti

\frac{2}{|x|}+\frac{x}{|x|(x+1)}-\frac{3x}{x+1}=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione fratta con valore assoluto: per risolverla, esprimiamo gli addendi a denominatore comune

\frac{2(x+1)+x-3x|x|}{|x|(x+1)}=0

dopodiché moltiplichiamo a destra e a sinistra per |x|(x+1)

2(x+1)+x-3x|x|=0 \ \ \ \to \ \ \ 3x+2-3x|x|=0

Per poter determinare le soluzioni dell'equazione con valore assoluto, dobbiamo necessariamente studiare il segno dell'argomento di quest'ultimo e riscrivere la relazione sfruttando la definizione di modulo.

Se x\ge 0 allora |x|=x, conseguentemente

3x+2-3x|x|=0

si trasforma nell'equazione di secondo grado

3x+2-3x^2=0 \ \ \ \to \ \ \ 3x^2-3x-2=0

Calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=9-4\cdot 3\cdot (-2)=33

pertanto le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{6}=\begin{cases}\frac{3-\sqrt{33}}{6}=x_1\\ \\ \frac{3+\sqrt{33}}{6}=x_2\end{cases}

Attenzione: x_1 non è accettabile perché viola la condizione x\ge 0, mentre x_2 è soluzione dell'equazione data perché soddisfa le condizioni di esistenza.

Consideriamo l'altro caso: se x<0, allora |x|=-x e l'equazione

3x+2-3x|x|=0

diventa

3x+2+3x^2=0 \ \ \ \to \ \ \ 3x^2+3x+2=0

Il discriminante associato all'equazione è negativo, infatti

\Delta=b^2-4ac= 9^2-4\cdot 3\cdot 2=-15<0

pertanto l'equazione di secondo grado non ammette soluzioni.

In definitiva, siamo autorizzati a concludere che

x_2=\frac{3+\sqrt{33}}{6}

è l'unica soluzione dell'equazione

\frac{9^{\tfrac{1}{|x|}}\cdot 3^{\tfrac{x}{|x|(x+1)}}}{27^{\tfrac{x}{x+1}}}-1=0

Ecco fatto!
  • Pagina:
  • 1
Os