Equazione con logaritmo naturale #76753

avt
Maart
Punto
Esercitandomi ho incontrato un'equazione con un logaritmo naturale che non sono in grado di risolvere. Nel momento in cui compare un logaritmo naturale, posso utilizzare le proprietà dei logaritmi, vero? Se sì, come?

Determinare le soluzioni dell'equazione logaritmica

-\ln(x+1)=-2

Il risultato dovrebbe essere x=e^{2}-1.
 
 

Equazione con logaritmo naturale #76770

avt
jimmypage1976
Frattale
Consideriamo l'equazione logaritmica

-\ln(x+1)=-2

dove \ln(x+1) è il logaritmo naturale di x+1. Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le condizioni di esistenza: un logaritmo di base qualsiasi richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero, ecco perché prendiamo in esame la disequazione di primo grado

x+1>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-1

da cui deduciamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui l'incognita soddisfa il vincolo

C.E.:\ x>-1

Una volta determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici.

Cambiamo i segni ai due membri ricavando così l'equazione logaritmica espressa in forma canonica

\ln(x+1)=2

A questo punto applichiamo l'esponenziale in base e a sinistra e a destra così da sbarazzarci del termine logaritmico

e^{\ln(x+1)}=e^2

In accordo con la definizione stessa di logaritmo, il primo membro coincide con x+1 e l'equazione diventa

x+1=e^2

da cui ricaviamo la soluzione

x=e^2-1

Nota: x=e^{2}-1 è soluzione dell'equazione perché soddisfa le condizioni di esistenza, infatti e^{2}-1>-1.
Ringraziano: ermagnus95, Maart, cicciofrank19
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