Esercizio equazione razionale fratta

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Esercizio equazione razionale fratta #76740

avt
oluc
Punto
Mi è capitata un'equazione algebrica fratta che però non so risolvere perché formata da polinomi di grado 3. Avevo pensato di procedere per scomposizione, ma non ci sono riuscito.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione fratta

\frac{x^3+x^2+1}{x^3-1}=1

Grazie.
 
 

Esercizio equazione razionale fratta #76741

avt
Iusbe
Templare
Il problema ci chiede di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta

\frac{x^3+x^2+1}{x^3-1}=1

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, è necessario imporre le dovute condizioni di esistenza: in questo caso richiederemo che il denominatore contenente l'incognita sia diverso da zero, ossia

C.E.:\  x^3-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x^3\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

Una volta determinate le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, siamo autorizzati a svolgere i calcoli che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale. Trasportiamo tutti i termini al primo membro

\frac{x^3+x^2+1}{x^3-1}-1=0

e scriviamo a denominatore comune i termini a sinistra dell'uguale

\frac{x^3+x^2+1-x^3+1}{x^3-1}=0

Non ci resta che cancellare il denominatore e sommare tra loro i termini simili del numeratore, riconducendoci così all'equazione di secondo grado

x^2+2=0\ \ \ \to \ \ \ x^2=-2

Essa è più propriamente un'equazione pura che non ammette soluzioni giacché il primo membro è certamente non negativo, mentre il secondo membro è minore di zero: non essendoci concordanza tra i segni, non può nemmeno sussistere l'uguaglianza.

Possiamo concludere pertanto che l'equazione fratta

\frac{x^3+x^2+1}{x^3-1}=1

non ammette soluzioni, pertanto è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto: S=\emptyset.
Ringraziano: Omega, oluc
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Os