Equazione con valore assoluto e argomento fratto

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione con valore assoluto e argomento fratto #76556

avt
GabrieleDD
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione fratta con valore assoluto. Purtroppo non ho idea di come procedere perché l'incognita si trova anche a denominatore e non so come trattare questo caso.

Calcolare le soluzioni dell'equazione fratta con valore assoluto

|(x)/(x+1)| = 1

Grazie.
 
 

Equazione con valore assoluto e argomento fratto #76736

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere come si deve l'equazione con valore assoluto fratta

|(x)/(x+1)| = 1

bisogna innanzitutto esplicitare le condizioni di esistenza: proprio perché l'incognita compare a denominatore, richiederemo che quest'ultimo sia diverso da zero

x+1 ne 0 → x ne-1

pertanto

C.E.: x ne-1

Una volta ricavato la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo dedicarci alla ricerca delle soluzioni.

Se osserviamo bene, l'equazione è già espressa nella forma normale

|A(x)| = k

dove

A(x) = (x)/(x+1) e k = 1

di conseguenza le soluzioni dell'equazione coincidono con quelle delle due equazioni fratte di primo grado

(x)/(x+1) = -1 ; (x)/(x+1) = 1

Risolviamole separatamente partendo dalla prima, ossia da:

(x)/(x+1) = -1

Per x ne-1, trasportiamo -1 al primo membro

(x)/(x+1)+1 = 0

e una volta calcolato il denominatore comune, otteniamo

(x+x+1)/(x+1) = 0

Moltiplichiamo i due membri per x+1 e sommiamo tra loro i monomi simili a numeratore

2x+1 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

x = -(1)/(2)

Il valore ottenuto rispetta il vincolo x ne-1 pertanto è soluzione dell'equazione data.

Analizziamo la seconda equazione fratta seguendo lo stesso procedimento della precedente

(x)/(x+1) = 1 ; (x)/(x+1)-1 = 0

Una volta calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ricaviamo

(x-(x+1))/(x+1) = 0

da cui moltiplicando i due membri per x+1 otteniamo l'equazione equivalente

x-(x+1) = 0 → -1 = 0

Essa è chiaramente impossibile perché -1 non può essere uguale a 0.

Perfetto, ora abbiamo tutte le informazioni per concludere che l'equazione fratta

|(x)/(x+1)| = 1

è soddisfatta unicamente per x = -(1)/(2), pertanto il suo insieme soluzione è:

S = -(1)/(2)

Ecco fatto.
Ringraziano: Iusbe, GabrieleDD
  • Pagina:
  • 1
Os