Equazione con valore assoluto e argomento fratto

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Equazione con valore assoluto e argomento fratto #76556

avt
GabrieleDD
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione fratta con valore assoluto. Purtroppo non ho idea di come procedere perché l'incognita si trova anche a denominatore e non so come trattare questo caso.

Calcolare le soluzioni dell'equazione fratta con valore assoluto

\left|\frac{x}{x+1}\right|=1

Grazie.
 
 

Equazione con valore assoluto e argomento fratto #76736

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere come si deve l'equazione con valore assoluto fratta

\left|\frac{x}{x+1}\right|=1

bisogna innanzitutto esplicitare le condizioni di esistenza: proprio perché l'incognita compare a denominatore, richiederemo che quest'ultimo sia diverso da zero

x+1\ne 0 \ \ \ \to  \ \ \ x\ne -1

pertanto

C.E.: \ x\ne -1

Una volta ricavato la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo dedicarci alla ricerca delle soluzioni.

Se osserviamo bene, l'equazione è già espressa nella forma normale

|A(x)|=k

dove

A(x)=\frac{x}{x+1}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ k=1

di conseguenza le soluzioni dell'equazione coincidono con quelle delle due equazioni fratte di primo grado

\\ \frac{x}{x+1}=-1 \\ \\ \\  \frac{x}{x+1}=1

Risolviamole separatamente partendo dalla prima, ossia da:

\frac{x}{x+1}=-1

Per x\ne -1, trasportiamo -1 al primo membro

\frac{x}{x+1}+1=0

e una volta calcolato il denominatore comune, otteniamo

\frac{x+x+1}{x+1}=0

Moltiplichiamo i due membri per x+1 e sommiamo tra loro i monomi simili a numeratore

2x+1=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

x=-\frac{1}{2}

Il valore ottenuto rispetta il vincolo x\ne -1 pertanto è soluzione dell'equazione data.

Analizziamo la seconda equazione fratta seguendo lo stesso procedimento della precedente

\\ \frac{x}{x+1}=1 \\ \\ \\ \frac{x}{x+1}-1=0

Una volta calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ricaviamo

\frac{x-(x+1)}{x+1}=0

da cui moltiplicando i due membri per x+1 otteniamo l'equazione equivalente

x-(x+1)=0 \ \ \ \to \ \ \ -1=0

Essa è chiaramente impossibile perché -1 non può essere uguale a 0.

Perfetto, ora abbiamo tutte le informazioni per concludere che l'equazione fratta

\left|\frac{x}{x+1}\right|=1

è soddisfatta unicamente per x=-\frac{1}{2}, pertanto il suo insieme soluzione è:

S=\left\{-\frac{1}{2}\right\}

Ecco fatto.
Ringraziano: Iusbe, GabrieleDD
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Os