Equazione fratta con rapporto tra polinomi

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Equazione fratta con rapporto tra polinomi #76543

avt
5ebastiano
Punto
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione fratta in cui sia il numeratore che il denominatore sono polinomi di grado superiore a 2. Ho tentato di scomporre e di semplificare tutto quanto, senza riuscire a ottenere i risultati proposti dal libro.

Risolvere la seguente equazione fratta

\frac{x^3+x^2-3x-3}{(x^4-1)(x^3+8)}=0

Grazie.
 
 

Equazione fratta con rapporto tra polinomi #76570

avt
Iusbe
Templare
L'esercizio richiede di determinare le soluzioni dell'equazione fratta

\frac{x^3+x^2-3x-3}{(x^4-1)(x^3+8)}=0

Affinché sia ben posta, imponiamo la non nullità del denominatore

C.E.:\ (x^4-1)(x^3+8)\ne 0

e analizziamo la relazione con la legge di annullamento del prodotto. La sua negazione garantisce che il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se ciascuno dei fattori che compongono il primo membro è diverso da zero: dovremo considerare quindi le due disuguaglianze

x^4-1\ne 0\ \ \ \wedge \ \ \ x^3+8\ne 0

Risolviamole trattandole come delle equazioni binomie di grado superiore al secondo

\\ x^4-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x^4\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne \pm 1 \\ \\ \mbox{e} \\ \\  x^3+8\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x^3\ne-8 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -2

Deduciamo quindi che l'equazione è ben posta nel momento in cui sussistono le condizioni di esistenza

C.E.: \ x\ne -2 \ \ \wedge \ \ x\ne -1 \ \ \wedge \ \ x\ne 1

Ora che è noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, ritorniamo all'equazione

\frac{x^3+x^2-3x-3}{(x^4-1)(x^3+8)}=0

e risolviamola cancellando il denominatore

x^3+x^2-3x-3=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione scomponibile che risolviamo fattorizzando il polinomio al primo membro mediante raccoglimento parziale: raccoglieremo x^2 tra i primi due termini e -3 tra gli ultimi due

x^2(x+1)-3(x+1)=0 \ \ \ \to \ \ \ (x^2-3)(x+1)=0

Interviene nuovamente la legge di annullamento del prodotto che consente di scrivere le seguenti equazioni

x^2-3=0 \ \ \ \vee \ \ \ x+1=0

La prima è chiaramente un'equazione pura ed è soddisfatta dai valori \pm\sqrt{3}, infatti:

x^2-3=0 \ \ \to \ \ x^2=3 \ \ \to \ \ x=\pm\sqrt{3}

Per quanto riguarda la seconda

x+1=0

è una semplice equazione di primo grado, soddisfatta per x=-1.

Ricapitolando, abbiamo ricavato tre valori

x=-\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ x=-1 \ \ \ , \ \ \ x=\sqrt{3}

ognuno dei quali si candida come soluzione dell'equazione di partenza, ma solo quelli che obbediscono alle condizioni di esistenza sono accettabili: possiamo quindi asserire che le soluzioni dell'equazione

\frac{x^3+x^2-3x-3}{(x^4-1)(x^3+8)}=0

sono

x=-\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ x=\sqrt{3}

mentre x=-1 non è accettabile perché viola la condizione x\ne -1. Ecco fatto.
Ringraziano: Pi Greco, Galois
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Os