Esercizio su equazione di grado 16 #76392

avt
BleakHeart
Frattale
Avrei bisogno di una mano per calcolare le soluzioni di un'equazione di grado superiore al secondo in cui devo avvalermi delle opportune tecniche di scomposizione dei polinomi. Considerando che sono presenti potenze ottave di polinomi, qual è la migliore strategia per risolverla?

Calcolare le soluzioni reali della seguente equazione

(x-1)^8=(x^2-4x+3)^8

Grazie.
 
 

Esercizio su equazione di grado 16 #76422

avt
Galois
Amministratore
Le soluzioni dell'equazione

(x-1)^8=(x^2-4x+3)^8

possono essere determinate utilizzando diversi metodi: potremmo pensare di sviluppare la potenza del binomio e quella del trinomio però è evidente che i calcoli si complicano abbastanza velocemente ed è dunque da evitare.

Tentiamo un approccio differente che consiste nello scomporre x^2-4x+3 vedendolo come un trinomio notevole. Ricerchiamo quindi due numeri reali A\ \mbox{e} \ B la cui somma coincida con il coefficiente di x e il cui prodotto sia uguale al termine noto

A+B=-4 \ \ \ ,\  \ \ AB=3

Procedendo per tentativi, scopriamo che i due numeri sono A=-1\ \mbox{e} \ B=-3, pertanto il trinomio si scompone come segue:

x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

Con la scomposizione, ricaviamo l'equazione

(x-1)^8=((x-1)(x-3))^8

che grazie alla proprietà sulla potenza di un prodotto diventa

(x-1)^8=(x-1)^8 (x-3)^8

Trasportiamo tutti i termini al primo membro

(x-1)^8-(x-1)^8(x-3)^8=0

e raccogliamo il fattore comune (x-1)^8

(x-1)^8[1-(x-3)^8]=0

A questo punto interviene la legge di annullamento del prodotto la quale garantisce che il prodotto al primo membro è zero nel momento in cui almeno uno dei fattori che lo compongono è pari a zero. Da questa seguono due equazioni

\\ (x-1)^8=0 \\ \\ 1-(x-3)^8=0

Risolviamo la prima equazione ricordando che una potenza è uguale a zero se e solo se è nulla la sua base:

(x-1)^8=0 \ \ \ \to \ \ \  x-1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=1

Per quanto concerne la seconda, vale a dire

1-(x-3)^8=0

possiamo interpretarla come un'equazione binomia a esponente pari: è sufficiente porre t=x-3 così che diventi

1-t^8=0 \ \ \ \to \ \ \ t^8=1

da cui

t=-1 \ \ \ , \ \ \ t=1

Ripristiniamo l'incognita x tenendo conto della sostituzione t=x-3, mediante la quale t=-1 diventa

x-3=-1 \ \ \ \to \ \ \ x=2

mentre t=1 si tramuta nell'equazione di primo grado

x-3=1 \ \ \ \to \ \ \ x=4

In definitiva, le soluzioni dell'equazione iniziale sono

x_1=1 \ \ \ , \ \ \ x=2 \ \ \ , \ \ \ x=4

pertanto siamo autorizzati a scrivere che l'insieme delle soluzioni è

S=\left\{1,\ 2,\ 4\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Iusbe
  • Pagina:
  • 1
Os