Equazione letterale fratta di grado 1 con tre valori del parametro

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Equazione letterale fratta di grado 1 con tre valori del parametro #76071

avt
Cla!
Punto
In un esercizio sulle equazioni letterali fratte mi viene chiesto di sostituire dei valori fissati all'unico parametro presente e di studiare le equazioni numeriche fratte ottenute. Come si fa? Grazie.

Sia data l'equazione letterale fratta

a-1+\frac{1}{x+a}=\frac{1}{1+\frac{x}{a}}

Scrivere e, eventualmente risolvere, le equazioni numeriche fratte che si ottiene fissando a=0, \ a=1 \ \mbox{e} \ a=2.

Grazie.
 
 

Equazione letterale fratta di grado 1 con tre valori del parametro #76092

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nell'esprimere esplicitamente le equazioni fratte associate all'equazione parametrica di primo grado

a-1+\frac{1}{x+a}=\frac{1}{1+\tfrac{x}{a}}

nel momento in cui a=0,\ a=1 oppure a=2 e in seguito risolverle se è possibile.

Osserviamo sin da subito che se il parametro a fosse nullo, sarebbe nullo anche il denominatore del termine \frac{x}{a}, pertanto l'intera equazione perderebbe di significato proprio perché non è possibile dividere per zero.

Se al posto del parametro a sostituissimo il valore 1, otterremo l'equazione fratta di primo grado:

1-1+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+\tfrac{x}{1}}

che diventa

\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x+1}

Impostiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, vale a dire:

CE: x+1\ne 0\ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

Una volta imposte le condizioni di esistenza, scriviamo l'equazione fratta in forma normale, trasportando tutti i termini al primo e sommando tra loro le frazioni algebriche

\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=0

Il primo membro è identicamente nullo, perché le due frazioni algebriche sono tra loro opposte, pertanto otteniamo un'equazione senza incognite

0=0

verificata per ogni x\ne -1.

Per a=2, l'equazione parametrica si tramuta nell'equazione fratta

\\ 2-1+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}} \\ \\ \\ 1+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}}

Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero:

\\ x+2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -2 \\ \\ \\ 1+\frac{x}{2}\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{x}{2}\ne -1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -2

Le due condizioni coincidono, ecco perché scriveremo semplicemente:

CE: x\ne -2

Prefiggiamoci il compito di esprimere l'equazione fratta in forma normale, trasportando tutti i termini al primo membro

1+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}}=0

Purtroppo siamo in presenza di una frazione di frazioni che richiede qualche passaggio algebrico per essere espressa sotto forma di un'unica frazione

\\1+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{\frac{2+x}{2}}=0 \\ \\ \\ 1+\frac{1}{x+2}-\frac{2}{2+x}=0

Sommiamo tra loro le frazioni algebriche, determinando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ed eseguiamo le operazioni che scaturiscono

\\ \frac{x+2+1-2}{x+2}=0 \\ \\ \\ \frac{x+1}{x+2}=0

Sotto il vincolo delle condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore ricavando così l'equazione di primo grado equivalente

x+1=0 \ \ \to \ \ x= -1

Poiché x=-1 soddisfa la condizione x\ne -2 possiamo concludere che essa è soluzione dell'equazione fratta.

Lo studio dell'equazione parametrica è terminato, l'unica cosa che ci rimane da fare consiste nello scrivere chiaramente le conclusioni:

- se a=0, l'equazione perde di significato;

- se a=1, l'equazione è indeterminata, infatti è soddisfatta per ogni x\ne -1;

- se a=2, l'equazione è determinata con soluzione x=-1.

Ecco fatto!
Ringraziano: CarFaby, Cla!
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Os