Equazione letterale fratta di grado 1 con tre valori del parametro

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#76071
avt
Cla!
Punto
In un esercizio sulle equazioni letterali fratte mi viene chiesto di sostituire dei valori fissati all'unico parametro presente e di studiare le equazioni numeriche fratte ottenute. Come si fa? Grazie.

Sia data l'equazione letterale fratta

a-1+(1)/(x+a) = (1)/(1+(x)/(a))

Scrivere e, eventualmente risolvere, le equazioni numeriche fratte che si ottiene fissando a = 0, a = 1 e a = 2.

Grazie.
#76092
avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nell'esprimere esplicitamente le equazioni fratte associate all'equazione parametrica di primo grado

a-1+(1)/(x+a) = (1)/(1+(x)/(a))

nel momento in cui a = 0, a = 1 oppure a = 2 e in seguito risolverle se è possibile.

Osserviamo sin da subito che se il parametro a fosse nullo, sarebbe nullo anche il denominatore del termine (x)/(a), pertanto l'intera equazione perderebbe di significato proprio perché non è possibile dividere per zero.

Se al posto del parametro a sostituissimo il valore 1, otterremo l'equazione fratta di primo grado:

1-1+(1)/(x+1) = (1)/(1+(x)/(1))

che diventa

(1)/(x+1) = (1)/(x+1)

Impostiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, vale a dire:

CE: x+1 ne 0 → x ne-1

Una volta imposte le condizioni di esistenza, scriviamo l'equazione fratta in forma normale, trasportando tutti i termini al primo e sommando tra loro le frazioni algebriche

(1)/(x+1)-(1)/(x+1) = 0

Il primo membro è identicamente nullo, perché le due frazioni algebriche sono tra loro opposte, pertanto otteniamo un'equazione senza incognite

0 = 0

verificata per ogni x ne-1.

Per a = 2, l'equazione parametrica si tramuta nell'equazione fratta

2-1+(1)/(x+2) = (1)/(1+(x)/(2)) ; 1+(1)/(x+2) = (1)/(1+(x)/(2))

Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero:

x+2 ne 0 → x ne-2 ; 1+(x)/(2) ne 0 → (x)/(2) ne-1 → x ne-2

Le due condizioni coincidono, ecco perché scriveremo semplicemente:

CE: x ne-2

Prefiggiamoci il compito di esprimere l'equazione fratta in forma normale, trasportando tutti i termini al primo membro

1+(1)/(x+2)-(1)/(1+(x)/(2)) = 0

Purtroppo siamo in presenza di una frazione di frazioni che richiede qualche passaggio algebrico per essere espressa sotto forma di un'unica frazione

1+(1)/(x+2)-(1)/((2+x)/(2)) = 0 ; 1+(1)/(x+2)-(2)/(2+x) = 0

Sommiamo tra loro le frazioni algebriche, determinando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ed eseguiamo le operazioni che scaturiscono

(x+2+1-2)/(x+2) = 0 ; (x+1)/(x+2) = 0

Sotto il vincolo delle condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore ricavando così l'equazione di primo grado equivalente

x+1 = 0 → x = -1

Poiché x = -1 soddisfa la condizione x ne-2 possiamo concludere che essa è soluzione dell'equazione fratta.

Lo studio dell'equazione parametrica è terminato, l'unica cosa che ci rimane da fare consiste nello scrivere chiaramente le conclusioni:

- se a = 0, l'equazione perde di significato;

- se a = 1, l'equazione è indeterminata, infatti è soddisfatta per ogni x ne-1;

- se a = 2, l'equazione è determinata con soluzione x = -1.

Ecco fatto!
Ringraziano: CarFaby, Cla!
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