Equazione letterale fratta di grado 1 con tre valori del parametro

In un esercizio sulle equazioni letterali fratte mi viene chiesto di sostituire dei valori fissati all'unico parametro presente e di studiare le equazioni numeriche fratte ottenute. Come si fa? Grazie.

Sia data l'equazione letterale fratta



Scrivere e, eventualmente risolvere, le equazioni numeriche fratte che si ottiene fissando .

Grazie.

Il nostro compito consiste nell'esprimere esplicitamente le equazioni fratte associate all'equazione parametrica di primo grado



nel momento in cui oppure e in seguito risolverle se è possibile.

Osserviamo sin da subito che se il parametro fosse nullo, sarebbe nullo anche il denominatore del termine , pertanto l'intera equazione perderebbe di significato proprio perché non è possibile dividere per zero.

Se al posto del parametro sostituissimo il valore 1, otterremo l'equazione fratta di primo grado:



che diventa



Impostiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, vale a dire:



Una volta imposte le condizioni di esistenza, scriviamo l'equazione fratta in forma normale, trasportando tutti i termini al primo e sommando tra loro le frazioni algebriche



Il primo membro è identicamente nullo, perché le due frazioni algebriche sono tra loro opposte, pertanto otteniamo un'equazione senza incognite



verificata per ogni .

Per , l'equazione parametrica si tramuta nell'equazione fratta



Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero:



Le due condizioni coincidono, ecco perché scriveremo semplicemente:



Prefiggiamoci il compito di esprimere l'equazione fratta in forma normale, trasportando tutti i termini al primo membro



Purtroppo siamo in presenza di una frazione di frazioni che richiede qualche passaggio algebrico per essere espressa sotto forma di un'unica frazione



Sommiamo tra loro le frazioni algebriche, determinando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ed eseguiamo le operazioni che scaturiscono



Sotto il vincolo delle condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore ricavando così l'equazione di primo grado equivalente



Poiché soddisfa la condizione possiamo concludere che essa è soluzione dell'equazione fratta.

Lo studio dell'equazione parametrica è terminato, l'unica cosa che ci rimane da fare consiste nello scrivere chiaramente le conclusioni:

- se , l'equazione perde di significato;

- se , l'equazione è indeterminata, infatti è soddisfatta per ogni ;

- se , l'equazione è determinata con soluzione .

Ecco fatto!