Disequazione logaritmica con logaritmo elevato alla quarta

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Disequazione logaritmica con logaritmo elevato alla quarta #75611

avt
flaco
Punto
Salve, ho questa disequazione logaritmica con un elevamento alla quarta

[\log_2(x)]^4<1

dunque ho proceduto con trasformare l'1 in modo da farlo diventare \log_2(x)
e quindi ho

[\log_2(x)]^4<\log_2(2)

Adesso però non ho idea di come procedere...
 
 

Re: Disequazione logaritmica con logaritmo elevato alla quarta #75626

avt
Omega
Amministratore
Ciao Flaco emt

Quella che proponi è una disequazione logaritmica elementare che conviene risolvere con un'opportuna sostituzione.

[\log_2(x)]^4<1

Prima di tutto le condizioni di esistenza delle soluzioni (CE): per come è definito il logaritmo, dobbiamo richiedere x>0.

Poniamo z=\log_2(x) e passiamo a risolvere

y^4<1

che è una disequazione di grado superiore al secondo. Riduciamone il grado considerando l'equazione associata

y^4=1\ \to\ y^2=+1\ \vee\ y^2=-1

La soluzione negativa va scartata perché y^2 è una quantità positiva o alla peggio nulla (in due parole, non negativa). al posto di scrivereQuindi

-1<y^2<+1

scriveremo

0\leq y^2<+1

Quest'ultima è una doppia disequazione che equivale ad un sistema di disequazioni

\begin{cases}y^2\geq 0\\ y^2<+1\end{cases}

La prima è banale e ammette come soluzioni qualsiasi y\in\mathbb{R}. Il sistema si riduce così alla sola seconda disequazione.

La seconda è una disequazione di secondo grado che ammette come soluzioni

-1<y<+1

Ora torniamo all'incognita x

-1<\log_2(x)<+1

e riscriviamo la doppia disequazione come un sistema

\begin{cases}\log_2(x)>-1\\ \log_2(x)<+1\end{cases}

da cui banalmente

\begin{cases}\log_2(x)>\log_2(2^{-1})\\ \log_2(x)<\log_2(2^1)\end{cases}

ossia

\begin{cases}x>\frac{1}{2}\\ x<2\end{cases}

Le condizioni di esistenza (x>0) si rivelano ridondanti alla luce della prima disequazione del sistema. In definitiva, la disequazione proposta ammette come soluzioni \frac{1}{2}<x<2.
Ringraziano: flaco
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Os