Scomporre polinomio di grado 3 con regola di Ruffini

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Scomporre polinomio di grado 3 con regola di Ruffini #75504

avt
ElCastigador
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per scomporre un polinomio di terzo grado con la regola di Ruffini. Io ho tentato di risolverlo, ma non ci sono riuscito.

Utilizzare la regola di Ruffini per scomporre il polinomio

P(x)=x^3+3x^2+4x+2

Grazie.
 
 

Scomporre polinomio di grado 3 con regola di Ruffini #75506

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nello scomporre il polinomio

P(x)=x^3+3x^2+4x+2

utilizzando la regola di Ruffini. Questo metodo di scomposizione è abbastanza intricato, per questo motivo procederemo per passi.

Per prima cosa osserviamo che P(x) è un polinomio ordinato rispetto alle potenze decrescenti di x (se non lo fosse stato, avremmo dovuto ordinarlo!), inoltre il coefficiente del termine di grado massimo e il termine noto valgono rispettivamente 1 e 2.

Dopo questa premessa, possiamo procedere con il metodo: andiamo alla ricerca di una radice razionale del polinomio, ossia una frazione \frac{p}{q} in grado di annullare P(x).

La frazione \frac{p}{q} è peculiare perché dalla teoria sappiamo che:

- il numeratore p è un divisore intero (o divisore con segno) del termine noto;

- il denominatore q è un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo (detto coefficiente direttivo).

Esplicitiamo quindi i divisori interi del termine noto 2

\mbox{Divisori interi di }2=\{\pm1, \ \pm 2\}

e quelli del coefficiente del termine di grado massimo

\mbox{Divisori interi di }1=\{\pm 1\}

Nota importante! Proprio perché il coefficiente direttivo è 1, la radice sarà più propriamente un numero intero che divide il termine noto, dunque sarà necessariamente un elemento della lista

\{- 1, \ 1, \ -2, \ 2\}

Sostituiamo i valori al posto di x, cercandone uno che lo annulli. In questo caso siamo fortunati perché x=-1 annulla il polinomio, infatti

P(-1)=(-1)^3+3\cdot (-1)^2+4\cdot(-1)+2=-1+3-4+2=0

In particolare, il teorema di Ruffini garantisce che potremo scrivere P(x) come:

P(x)=(x-(-1))Q(x) \ \ \ \to \ \ \ P(x)=(x+1)Q(x)

dove il binomio è individuato dalla radice trovata, mentre Q(x) è un polinomio di secondo grado da determinare.

Utilizziamo la tabella di Ruffini per ricavare il polinomio Q(x), costituita da due linee verticali, tagliate in basso da una linea orizzontale.

\begin{array}{c|ccccc|c}&&&&&&\\ &&&&&& \\ &&&&&&\\ \hline &&&&&&\end{array}

Riempiamo la prima riga della tabella con i coefficienti del polinomio P(x) ordinati secondo le potenze decrescenti dell'incognita, mentre sulla seconda riga, anteposto alla prima linea verticale, inseriamo la radice ottenuta

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&3&&4&2\\ &&&&&& \\ -1&&&&&&\\ \hline &&&&&&\end{array}

Portiamo in basso il primo termine della prima riga

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&3&&4&2\\ &&&&&& \\ -1&&&&&&\\ \hline &1&&&&&\end{array}

moltiplichiamolo per la radice e riportiamo il prodotto sotto il 3

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&3&&4&2\\ &&&&&& \\ -1&&&-1&&&\\ \hline &1&&&&&\end{array}

Eseguiamo la somma tra -1 e 3 e incolonniamo il risultato nella terza riga

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&3&&4&2\\ &&&&&& \\ -1&&&-1&&&\\ \hline &1&&2&&&\end{array}

Ancora una volta, moltiplichiamo 2 per la radice -1 e scriviamo il prodotto sotto il numero 4

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&3&&4&2\\ &&&&&& \\ -1&&&-1&&-2&\\ \hline &1&&2&&&\end{array}

Addizioniamo 4 e -2 e riportiamo il risultato sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&3&&4&2\\ &&&&&& \\ -1&&&-1&&-2&\\ \hline &1&&2&&2&\end{array}

Reiteriamo il procedimento, moltiplichiamo 2 per la radice, scriviamo il prodotto sotto l'ultimo 2 e sommiamo

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&3&&4&2\\ &&&&&& \\ -1&&&-1&&-2&-2\\ \hline &1&&2&&2&0\end{array}

Osservazione: nell'ambito della scomposizione di polinomi, l'ultimo elemento della terza riga deve essere necessariamente zero! Se così non fosse, c'è un errore che si nasconde tra i calcoli.

A esclusione dell'ultimo, gli elementi della terza riga

1 \ \ \ ,  \ \ \  2 \ \ \ , \ \ \ 2

rappresentano i coefficienti di Q(x), ordinati secondo le potenze decrescenti di x, pertanto:

Q(x)=x^2+2x+2

Osserviamo che Q(x) è un polinomio di secondo grado che però non è ulteriormente riducibile perché non ammette alcuna radice razionale.

In definitiva, concludiamo che la scomposizione del polinomio P(x) è

x^3+3x^2+4x+2=(x+1)(x^2+2x+2)

Abbiamo finito.
Ringraziano: ElCastigador
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Os