Esercizio equazione goniometrica lineare con i radicali

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Esercizio equazione goniometrica lineare con i radicali #75456

avt
oluc
Punto
Mi è capitata un'equazione con seno e coseno a coefficienti irrazionali che non sono in grado di risolvere. Il mio insegnante ha suggerito di usare le sostituzioni parametriche, però i calcoli non si semplificano affatto.

Determinare l'insieme delle soluzioni della seguente equazione lineare in seno e coseno

\sin(x)+(\sqrt{2}-1)\cos(x)-1=0

Grazie mille.
 
 

Esercizio equazione goniometrica lineare con i radicali #75474

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione lineare in seno e coseno

\sin(x)+(\sqrt{2}-1)\cos(x)-1=0

Per poterne ricavare le soluzioni, possiamo avvalerci di diverse tecniche risolutive: il metodo dell'angolo aggiunto, il metodo geometrico (sconsigliato) o ancora il metodo algebrico.

In questa sede, utilizzeremo il metodo algebrico, che consiste nel controllare se x=\pi è soluzione oppure no: è sufficiente rimpiazzare l'incognita con \pi e svolgere i calcoli. Se otteniamo un'identità, essa è soluzione, altrimenti non lo è

\\ \sin(\pi)+(\sqrt{2}-1)\cos(\pi)-1=0 \\ \\ 0+(\sqrt{2}-1)\cdot(-1)-1=0 \\ \\ -\sqrt{2}=0

Chiaramente -\sqrt{2} è diversa da zero, di conseguenza x=\pi non è soluzione.

Una volta effettuato questo controllo e sotto la condizione x\ne \pi +2k\pi, possiamo servirci delle formule parametriche, grazie alle quali possiamo esprimere seno e coseno in termini della variabile ausiliaria t definita come la tangente di \frac{x}{2}.

In maniera esplicita, poniamo

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\ \ \ \mbox{con} \ x\ne\pi+2k\pi

allora sussistono le uguaglianze

\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2} \ \ \ , \ \ \ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

tramite cui l'equazione diventa

\frac{2t}{1+t^2}+(\sqrt{2}-1)\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-1=0

In buona sostanza ci siamo ricondotti a un'equazione fratta di secondo grado nell'incognita t. Portiamola in forma canonica, sommando tra loro le frazioni algebriche al primo membro

\frac{2t+(\sqrt{2}-1)(1-t^2)-1-t^2}{1+t^2}=0

sbarazziamoci del denominatore e sommiamo tra loro i monomi simili al numeratore

\\ -\sqrt{2}t^2+2t-2+\sqrt{2}=0 \\ \\ \sqrt{2}t^2-2t+2-\sqrt{2}=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=\sqrt{2} \ \ \ , \ \ \ b=-2 \ \ \ , \ \ \ c=2-\sqrt{2}

Poiché il coefficiente di x è un multiplo (intero) di 2, sfrutteremo la formula del delta quarti per ricavare le soluzione dell'equazione

\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(-1\right)^2-\sqrt{2}(2-\sqrt{2})= \\ \\ =3-2\sqrt{2}

Per facilitare l'esposizione, calcoliamo a parte la radice quadrata del delta quarti

\sqrt{\frac{\Delta}{4}}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=

Per poter semplificare il radicale doppio, trasportiamo il fattore 2 all'interno della radice quadrata di 2

=\sqrt{3-\sqrt{8}}=

dopodiché sfruttiamo la formula dei radicali doppi

=\sqrt{\frac{3+\sqrt{9-8}}{2}}-\sqrt{\frac{3-\sqrt{9-8}}{2}}=\sqrt{2}-1

Adesso siamo in grado di scrivere le soluzioni dell'equazione di secondo grado

\\ t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{-(-1)\pm(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=\\ \\ \\ =\frac{1\pm(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=\begin{cases}\frac{1-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=t_1\\ \\ \frac{1+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=1=t_2\end{cases}

Nota: possiamo semplificare l'espressione di t_2 avvalendoci delle proprietà dei radicali, infatti è sufficiente razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo l'espressione per \sqrt{2}

\\ \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}= \\ \\ \\ =\sqrt{2}-1

In definitiva, le soluzioni dell'equazione in t sono

t=\sqrt{2}-1 \ \ \ , \ \ \ t=1

Non ci resta che ripristinare l'incognita x tenendo a mente la sostituzione

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

Grazie a essa, la relazione t=\sqrt{2}-1 si traduce nell'equazione goniometrica elementare

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{2}-1

Ricordando che la tangente coincide con \sqrt{2}-1 se il suo argomento è uguale a \frac{\pi}{8}+k\pi, con k numero intero, ricaviamo l'equazione

\frac{x}{2}=\frac{\pi}{8}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

da cui, moltiplicando i due membri per 2 ricaviamo la prima famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

La relazione t=1 si traduce nell'equazione

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=1

che possiamo risolvere tenendo conto del fatto che la tangente è pari a 1 se il suo argomento coincide con \frac{\pi}{4}+k\pi, vale a dire

\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi

Moltiplicati i due membri per 2, otteniamo la seconda famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In definitiva possiamo affermare che

\sin(x)+(\sqrt{2}-1)\cos(x)-1=0

è soddisfatta per

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove k è un numero intero.
Ringraziano: Iusbe, oluc, FlashNoob98
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