Esercizio equazione goniometrica lineare con i radicali

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Esercizio equazione goniometrica lineare con i radicali #75456

avt
oluc
Punto
Mi è capitata un'equazione con seno e coseno a coefficienti irrazionali che non sono in grado di risolvere. Il mio insegnante ha suggerito di usare le sostituzioni parametriche, però i calcoli non si semplificano affatto.

Determinare l'insieme delle soluzioni della seguente equazione lineare in seno e coseno

sin(x)+(√(2)-1)cos(x)-1 = 0

Grazie mille.
 
 

Esercizio equazione goniometrica lineare con i radicali #75474

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione lineare in seno e coseno

sin(x)+(√(2)-1)cos(x)-1 = 0

Per poterne ricavare le soluzioni, possiamo avvalerci di diverse tecniche risolutive: il metodo dell'angolo aggiunto, il metodo geometrico (sconsigliato) o ancora il metodo algebrico.

In questa sede, utilizzeremo il metodo algebrico, che consiste nel controllare se x = π è soluzione oppure no: è sufficiente rimpiazzare l'incognita con π e svolgere i calcoli. Se otteniamo un'identità, essa è soluzione, altrimenti non lo è

sin(π)+(√(2)-1)cos(π)-1 = 0 ; 0+(√(2)-1)·(-1)-1 = 0 ;-√(2) = 0

Chiaramente -√(2) è diversa da zero, di conseguenza x = π non è soluzione.

Una volta effettuato questo controllo e sotto la condizione x ne π+2kπ, possiamo servirci delle formule parametriche, grazie alle quali possiamo esprimere seno e coseno in termini della variabile ausiliaria t definita come la tangente di (x)/(2).

In maniera esplicita, poniamo

t = tan((x)/(2)) con x neπ+2kπ

allora sussistono le uguaglianze

sin(x) = (2t)/(1+t^2) , cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

tramite cui l'equazione diventa

(2t)/(1+t^2)+(√(2)-1)·(1-t^2)/(1+t^2)-1 = 0

In buona sostanza ci siamo ricondotti a un'equazione fratta di secondo grado nell'incognita t. Portiamola in forma canonica, sommando tra loro le frazioni algebriche al primo membro

(2t+(√(2)-1)(1-t^2)-1-t^2)/(1+t^2) = 0

sbarazziamoci del denominatore e sommiamo tra loro i monomi simili al numeratore

-√(2)t^2+2t-2+√(2) = 0 ; √(2)t^2-2t+2-√(2) = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado con coefficienti

a = √(2) , b = -2 , c = 2-√(2)

Poiché il coefficiente di x è un multiplo (intero) di 2, sfrutteremo la formula del delta quarti per ricavare le soluzione dell'equazione

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = (-1)^2-√(2)(2-√(2)) = 3-2√(2)

Per facilitare l'esposizione, calcoliamo a parte la radice quadrata del delta quarti

√((Δ)/(4)) = √(3-2√(2)) =

Per poter semplificare il radicale doppio, trasportiamo il fattore 2 all'interno della radice quadrata di 2

= √(3-√(8)) =

dopodiché sfruttiamo la formula dei radicali doppi

= √((3+√(9-8))/(2))-√((3-√(9-8))/(2)) = √(2)-1

Adesso siamo in grado di scrivere le soluzioni dell'equazione di secondo grado

t_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (-(-1)±(√(2)-1))/(√(2)) = (1±(√(2)-1))/(√(2)) = (1-√(2)+1)/(√(2)) = (2-√(2))/(√(2)) = t_1 ; (1+√(2)-1)/(√(2)) = 1 = t_2

Nota: possiamo semplificare l'espressione di t_2 avvalendoci delle proprietà dei radicali, infatti è sufficiente razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo l'espressione per √(2)

(2-√(2))/(√(2)) = ((2-√(2))√(2))/(√(2)·√(2)) = (2√(2)-2)/(2) = √(2)-1

In definitiva, le soluzioni dell'equazione in t sono

t = √(2)-1 , t = 1

Non ci resta che ripristinare l'incognita x tenendo a mente la sostituzione

t = tan((x)/(2))

Grazie a essa, la relazione t = √(2)-1 si traduce nell'equazione goniometrica elementare

tan((x)/(2)) = √(2)-1

Ricordando che la tangente coincide con √(2)-1 se il suo argomento è uguale a (π)/(8)+kπ, con k numero intero, ricaviamo l'equazione

(x)/(2) = (π)/(8)+kπ con k∈Z

da cui, moltiplicando i due membri per 2 ricaviamo la prima famiglia di soluzioni

x = (π)/(4)+2kπ con k∈Z

La relazione t = 1 si traduce nell'equazione

tan((x)/(2)) = 1

che possiamo risolvere tenendo conto del fatto che la tangente è pari a 1 se il suo argomento coincide con (π)/(4)+kπ, vale a dire

(x)/(2) = (π)/(4)+kπ

Moltiplicati i due membri per 2, otteniamo la seconda famiglia di soluzioni

x = (π)/(2)+2kπ con k∈Z

In definitiva possiamo affermare che

sin(x)+(√(2)-1)cos(x)-1 = 0

è soddisfatta per

x = (π)/(4)+2kπ , x = (π)/(2)+2kπ

dove k è un numero intero.
Ringraziano: Iusbe, oluc, FlashNoob98
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