Scomporre tre polinomi e calcolare MCD e mcm

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Scomporre tre polinomi e calcolare MCD e mcm #75426

avt
Fabio55
Punto
Avrei bisogno di una mano per scomporre alcuni polinomi in fattori irriducibili, così da determinare il loro massimo comune divisore e il minimo comune multiplo. Non sono molto bravo con le fattorizzazioni e continuo a non capire qual è la tecnica migliore da usare.

Dopo aver scomposto i polinomi in fattori irriducibili

9-x^2 \ \ \ ,\ \ \ 9x-27 \ \ \ , \ \ \ x^2+6x+9

calcolare il loro massimo comune divisore e il loro minimo comune multiplo.

Grazie.
 
 

Scomporre tre polinomi e calcolare MCD e mcm #75641

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio si compone di due richieste: nella prima ci viene chiesto di scomporre i polinomi

9-x^2 \ \ \ ,\ \ \ 9x-27 \ \ \ , \ \ \ x^2+6x+9

Per quanto concerne la seconda richiesta, dobbiamo calcolare il loro massimo comune divisore e il loro minimo comune multiplo.

Iniziamo dalla scomposizione di 9-x^2: è la differenza dei quadrati di 3\ \mbox{e}\ x^2 e, in quanto tale, si fattorizza nel prodotto della loro somma per la loro differenza

9-x^2=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3)

Per quanto concerne il secondo polinomio, l'unica cosa che possiamo fare è mettere in evidenza il fattore comune 9

9x-27=9(x-3)

Si noti che non abbiamo effettivamente scomposto 9(x-3): fattorizzare un polinomio significa, infatti, esprimerlo come prodotto di polinomi di grado inferiore a quello dato.

Fattorizziamo il trinomio di secondo grado x^2+6x+9 notando che esso non è altro che lo sviluppo del quadrato di binomio (x+3)^2, infatti:

\bullet \ \ \ x^2 è il quadrato di x;

\bullet \ \ \ 9 è il quadrato di 3;

\bullet \ \ \ 6x è il doppio prodotto tra 3\ \mbox{e} \ x.

Scriviamo dunque:

x^2+6x+9=(x+3)^2

Una volta scomposti i polinomi in fattori irriducibili, basta seguire alla lettera le seguenti regole:

- il massimo comune divisore di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei loro fattori comuni, presi una sola volta con il più piccolo esponente;

- il minimo comune multiplo di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è dato dal prodotto dei loro fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il più grande esponente;

In base a esse, possiamo concludere che il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei polinomi

9-x^2 \ \ \ ,\ \ \ 9x-27 \ \ \ , \ \ \ x^2+6x+9

sono:

MCD=1 perché le scomposizioni non hanno fattori in comune;

mcm=-9(x-3)(x+3)^2

Abbiamo finito.
Ringraziano: Fabio55
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Os