Differenza tra disequazioni lineari impossibili e per ogni x

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Differenza tra disequazioni lineari impossibili e per ogni x #74722

avt
Francesca Arienti
Punto
Ciao a tutti! Vorrei capire la differenza tra le disequazioni lineari impossibili e quelle che valgono per ogni X appartenente ad R.

Grazie mille in anticipo!
 
 

Differenza tra disequazioni lineari impossibili e per ogni x #74783

avt
Galois
Amministratore
Ciao Francesca emt

Innanzitutto ti invito a prendere visione del nostro articolo su cosa sono le disequazioni - click!

Vediamo ora di far luce sul tuo dubbio.

In generale una disequazione è impossibile nell'insieme dei numeri reali se nessun valore di x\in \mathbb{R} ci porta ad una disuguaglianza vera.

Ad esempio, la disequazione di secondo grado:

x^2+1 \le 0

è impossibile in \mathbb{R} e, per rendersene conto, basta guardarla dritta negli occhi. Abbiamo infatti una somma tra un quadrato x^2 (che come tale è sempre positivo - potrà essere al minimo 0 - ) ed 1. Ragion per cui, la loro somma x^2+1 sarà sempre maggiore di zero.

Ragion per cui la nostra disequazione è impossibile.

Mentre, una disequazione si dice verificata per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali, in simboli: \forall x \in \mathbb{R} se, qualsiasi valore reale assegnato alla variabile x rende la disuguaglianza vera.

Ad esempio

x^2+1 > 0

per lo stesso discorso fatto prima, è verificata per ogni x appartenente ad \mathbb{R}.

La tua domanda però riguarda le disequazioni lineari (leggimi!), ovvero le disequazioni di primo grado che, per definizione, sono della forma:

ax > b, \ \mbox{con a} \neq 0

oppure

ax \ge b, \ \mbox{con a} \neq 0

oppure

ax < b, \ \mbox{con a} \neq 0

oppure

ax \le b, \ \mbox{con a} \neq 0

Come tali esse sono sempre determinate!

La loro soluzione sarà infatti data, rispettivamente, da:

x > \frac{b}{a}

x \ge \frac{b}{a}

x < \frac{b}{a}

x \le \frac{b}{a}

Durante gli esercizi potrebbe però capitare di ricadere nella forma:

0x \gtreqless  b, \ \mbox{con} b \neq 0

ed in questo caso saremo di fronte ad una disequazione lineare impossibile (dal momento che non si può dividere per zero)

Oppure nella forma

0x \gtreqless  0

che è impossibile se la disuguaglianza non contiene l'uguale, è indeterminata (ovvero è verificata per ogni x) se la disuguaglianza contiene l'uguale emt
Ringraziano: Omega, Francesca Arienti
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