Equazione di terzo grado con Ruffini #74699

avt
Iusbe
Templare
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni scomponibili in cui mi si chiede di determinare le soluzioni di un'equazione di terzo grado usando la regola di Ruffini, che però non ricordo come funziona.

Calcolare le soluzioni reali della seguente equazione utilizzando la regola di Ruffini

x^3-7x+6=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
 
 

Equazione di terzo grado con Ruffini #74874

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione di terzo grado

x^3-7x+6=0

Dal punto di vista puramente teorico, esiste un metodo che consente di ricavare le soluzioni denominato metodo di Cardano nel quale intervengono sovente i numeri complessi, per questo motivo lo accantoniamo in favore di qualche altra strategia.

In realtà, è lo stesso testo del problema che fornisce la strada maestra: bisognerà sfruttare la regola di Ruffini.

Per rendere più semplice l'esposizione, indichiamo con P(x) il polinomio di terzo grado

P(x)=x^3-7x+6

Osserviamo subito che il coefficiente direttivo è pari a 1, pertanto le radici del polinomio sono necessariamente da ricercare tra i divisori interi del termine noto, 6.

\mbox{Divisori di }6=\{\pm 1, \ \pm 2, \ \pm 3,\  \pm 6\}

Partiamo dal più piccolo per una mera questione di comodità e sostituiamolo al posto di x nel polinomio

P(1)=1^3-7\cdot 1+6=0

scopriamo dunque che x=1 è una radice del polinomio, detta soluzione particolare, e consente di innescare il metodo di Ruffini.

Costruiamo la tabella risolutiva scrivendo sulla prima riga i coefficienti del polinomio P(x) (non dimentichiamoci dello zero che individua il coefficiente di x^2) e sulla prima colonna la soluzione particolare:

\begin{array}{c|ccccc|c}&1&&0&&-7&6\\ &&&&&& \\ &&&&&&\\ 1&&&1&&1&-6\\ \hline &1&&1&&-6&0\end{array}

Quindi l'equazione si può riscrivere come

(x-1)(x^2+x-6)=0

Rimane da applicare la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale otteniamo

\\ x-1=0 \\ \\ x^2+x-6=0

La prima non è altro che un'equazione di primo grado dalla quale otteniamo la soluzione

x=1

La seconda è invece un'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=1 \ \ \ , \ \ \ c=-6

Calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac =1-4\cdot 1 \cdot (-6)=1+24=25

e poiché è positivo, l'equazione ammetterà due soluzioni reali e distinte

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\begin{cases}\frac{-1- 5}{2}=-3=x_1\\ \\ \frac{-1+5}{2}=2=x_2\end{cases}

Possiamo concludere pertanto che l'equazione di partenza è soddisfatta dai tre valori

x_0=1 \ \ \ , \ \ \ x_1=-3 \ \ \ , \ \ \ x_2=2

e il suo insieme soluzione è S=\{-3,\ 1, \ 2\}.

Abbiamo finito!
Ringraziano: Iusbe
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Os