Equazione di terzo grado con Ruffini

Mi è capitato un esercizio sulle equazioni scomponibili in cui mi si chiede di determinare le soluzioni di un'equazione di terzo grado usando la regola di Ruffini, che però non ricordo come funziona.

Calcolare le soluzioni reali della seguente equazione utilizzando la regola di Ruffini



Grazie.

Consideriamo l'equazione di terzo grado



Dal punto di vista puramente teorico, esiste un metodo che consente di ricavare le soluzioni denominato metodo di Cardano nel quale intervengono sovente i numeri complessi, per questo motivo lo accantoniamo in favore di qualche altra strategia.

In realtà, è lo stesso testo del problema che fornisce la strada maestra: bisognerà sfruttare la regola di Ruffini.

Per rendere più semplice l'esposizione, indichiamo con il polinomio di terzo grado



Osserviamo subito che il coefficiente direttivo è pari a 1, pertanto le radici del polinomio sono necessariamente da ricercare tra i divisori interi del termine noto, 6.



Partiamo dal più piccolo per una mera questione di comodità e sostituiamolo al posto di nel polinomio



scopriamo dunque che è una radice del polinomio, detta soluzione particolare, e consente di innescare il metodo di Ruffini.

Costruiamo la tabella risolutiva scrivendo sulla prima riga i coefficienti del polinomio (non dimentichiamoci dello zero che individua il coefficiente di ) e sulla prima colonna la soluzione particolare:



Quindi l'equazione si può riscrivere come



Rimane da applicare la legge di annullamento del prodotto grazie alla quale otteniamo



La prima non è altro che un'equazione di primo grado dalla quale otteniamo la soluzione



La seconda è invece un'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono



Calcoliamo il discriminante associato con la formula



e poiché è positivo, l'equazione ammetterà due soluzioni reali e distinte



Possiamo concludere pertanto che l'equazione di partenza è soddisfatta dai tre valori



e il suo insieme soluzione è .

Abbiamo finito!