Equazione letterale fratta con valori del parametro

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Equazione letterale fratta con valori del parametro #7443

avt
cichia
Cerchio
Riscontro delle difficoltà nella risoluzione di un'equazione parametrica fratta di primo grado con un parametro. Il problema mi chiede di sostituire al posto del parametro dei valori dati dal testo ottenendo così un'equazione numerica fratta da risolvere.

Data l'equazione parametrica

\frac{1}{x-1}=\frac{a}{x+1}

Scrivere, e se possibile risolvere, le equazioni che si ottengono per a=0, per a=1 e per a=2.

Grazie.
Ringraziano: paperino
 
 

Equazione letterale fratta con valori del parametro #7526

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica di primo grado

\frac{1}{x-1}=\frac{a}{x+1}

Il problema ci chiede di sostituire al posto del parametro a i valori

a=0 \ \ \ , \ \ \ a=1 \ \ \ , \ \ \ a=2

così da ricavare di volta in volta un'equazione fratta di primo grado di cui dobbiamo determinare le eventuali soluzioni. Cominciamo attribuendo al parametro a il valore 0:

\frac{1}{x-1}=\frac{0}{x+1}

da cui

\frac{1}{x-1}=0

L'equazione fratta è già in forma normale: imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che il denominatore contenente l'incognita sia non nullo

CE: x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1

Per x\ne 1 possiamo cancellare il denominatore, in virtù del secondo principio di equivalenza per le equazioni. Otteniamo così un'equazione senza incognite

1=0

che è impossibile, giacché è un'uguaglianza falsa.

Per a=1 l'equazione parametrica diventa invece

\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+1}

Ci siamo ricondotti a un'equazione fratta che però non è in forma normale. Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che tutti i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero

CE: x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1 \ \ \ , \ \ \ x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1

che possiamo scrivere usando il simbolo di congiunzione logica \wedge come:

x\ne -1\ \wedge \ x\ne 1

A questo punto impegniamoci a scrivere l'equazione fratta in forma normale, trasportando tutti i termini al primo membro

\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=0

determinando il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore, e riducendoci a un'unica frazione algebrica.

\\ \frac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0 \\ \\ \\ \frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)}=0 \\ \\ \\ \frac{1}{(x-1)(x+1)}=0

Abbiamo raggiunto la forma normale delle equazioni fratte! Cancelliamo il denominatore sotto i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza, ricavando così l'uguaglianza falsa

1=0

proprio per questo motivo, possiamo concludere che l'equazione fratta è impossibile.

Consideriamo il caso in cui il parametro a sia uguale a 2. In tal caso, l'equazione letterale diventa:

\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x+1}

Sempre sotto il vincolo delle condizioni di esistenza, scriviamo l'equazione fratta in forma normale:

\\ \frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}=0 \\ \\ \\ \frac{x+1-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0

Sviluppiamo i calcoli al numeratore

\\ \frac{x+1-2x+2}{(x-1)(x+1)}=0 \\ \\ \\ \frac{-x+3}{(x-1)(x+1)}=0

e cancelliamo infine il denominatore

-x+3=0 \ \ \to \ \ -x=-3 \ \ \to \ \ x=3

Il valore ottenuto rispetta le condizioni di esistenza, pertanto è soluzione dell'equazione.

Lo studio è concluso, non ci resta che esprimere per bene le conclusioni:

- se a=0 oppure a=1, l'equazione è impossibile;

- se a=2, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione x=3.

Abbiamo terminato.
Ringraziano: paperino
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Os