Equazione irrazionale con radice e al quadrato

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Equazione irrazionale con radice e al quadrato #74298

avt
omnietor
Punto
Salve,sono un po' arrugginito e di fronte a questa espressione equazione irrazionale con una radice e un elevamento al quadrato.

Mi viene un solo modo per risolverla, tra l'altro sbagliato.

3x+1=(3+\sqrt{x-1})^2


Io svolgo il quadrato del binomio, porto tutti i termini tranne la radice a sinistra semplifico e elevo al quadrato entrambi i termini (per eliminare la radice del doppio prodotto del binomio).

A questo punto ricavo una forma ax^2+bx+c=0 e ricavo le soluzioni con il delta.

Sbaglio tutto il procedimento?
 
 

Equazione irrazionale con radice e al quadrato #74361

avt
Galois
Coamministratore
Ciao omnietor emt

Quella che proponi più di un'espressione è un'equazione con radice (ho sistemato il titolo), altrimenti detta equazione irrazionale - click!

La prima cosa da fare è quindi quella di trovare le condizioni di esistenza imponendo che il radicando sia maggiore o uguale zero. (Visto che abbiamo una radice con indice pari).

Abbiamo quindi:

\mbox{C.E.:} \ x \ge 1

Fatto questo, il metodo che proponi è (in parte) corretto. Come prima cosa dobbiamo cercare di scriverla in forma normale, ovvero dobbiamo ricondurci ad un'uguaglianza del tipo:

\sqrt{f(x)}=g(x)

Quindi, partendo da

3x+1=(3+\sqrt{x-1})^2

sviluppiamo il quadrato di binomio a secondo membro:

3x+1=9 + 6\sqrt{x-1}+x-1

da cui, dopo qualche conticino:

6\sqrt{x-1}= 2x-7

Elevando, ancora una volta, ambo i membri al quadrato, abbiamo

36(x-1)=4x^2-28x+49

36x-36=4x^2-28x+49

4x^2-64x+85=0

che è un'equazione di secondo grado.

Per non avere numeri troppo alti possiamo utilizzare la formula ridotta del delta quarti per cui

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}

con

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac.

Nel nostro caso, essendo

a=4, \ b=-64, \ c=85

abbiamo

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{-64}{2}\right)^2 - (4 \cdot 85) = 1024 -  340 = 684

la cui scomposizione in fattori primi è

684=2^2 \cdot 3^2 \cdot 19

ragion per cui

\sqrt{\frac{\Delta}{4}}=\sqrt{684} = 6 \sqrt{19}

(in caso di dubbi ti invito a prendere visione della lezione sui radicali e loro proprietà).

Per trovare le soluzioni della nostra equazione ci basta quindi sostituire i vari valori in:

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}

per poi verificare se sono o meno accettabili andando a sostituire i due valori trovati nell'equazione iniziale emt
Ringraziano: Omega
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Os