Moltiplicazione tra polinomi con esponenti letterali

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Moltiplicazione tra polinomi con esponenti letterali #74204

avt
FAQ
Frattale
Non riesco a esprimere in forma normale il prodotto di due polinomi a esponenti letterali. Nonostante i numerosi tentativi, e sebbene mi sia attenuto alla teoria, non ottengo mai lo stesso risultato del libro. Potreste aiutarmi?

Esprimere in forma normale il prodotto tra polinomi, al variare di n nell'insieme dei numeri naturali:

(5x^{n+1}-2x^{n}-3)\left(2x^3+x^{2n+1}-3\right)

Grazie.
 
 

Moltiplicazione tra polinomi con esponenti letterali #74209

avt
Galois
Amministratore
Per calcolare il prodotto tra polinomi

(5x^{n+1}-2x^{n}-3)\left(2x^3+x^{2n+1}-3\right)=

bisogna, prima di tutto scrivere la somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per il secondo, vale a dire:

=5x^{n+1}(2x^3+x^{2n+1}-3)+(-2x^{n})(2x^{3}+x^{2n+1}-3)+(-3)(2x^{3}+x^{2n+1}-3)=

A questo punto, svolgiamo le moltiplicazioni tra i monomi e i polinomi corrispondenti: in questo passaggio usiamo implicitamente la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

\\ =5x^{n+1}\cdot 2x^{3}+5x^{n+1}\cdot x^{2n+1}+5x^{n+1}\cdot (-3)+ \\ \\ +(-2x^{n})\cdot (2x^{3})+(-2x^{n})\cdot (x^{2n+1})+(-2x^{n})\cdot (-3)+ \\ \\ +(-3)(2x^{3})+(-3)x^{2n+1}+(-3)\cdot (-3)=

Per portare a termine i calcoli, moltiplichiamo tra loro i coefficienti e le parti letterali, usando per quest'ultime la regola sul prodotto di due potenze con la stessa base: è proprio grazie a questa proprietà che riusciamo a determinare gli esponenti delle lettere.

\\ =[5\cdot 2]x^{n+1+3}+[5\cdot 1]x^{n+1+2n+1}+[5\cdot (-3)]x^{n+1}+ \\ \\ +[-2\cdot 2]x^{n+3}+[-2\cdot 1]x^{n+2n+1}+[-2\cdot (-3)]x^{n}+ \\ \\ + [-3\cdot 2]x^{3}-3x^{2n+1}+[(-3)\cdot (-3)]=

Esplicitiamo i prodotti, avvalendoci della regola dei segni per stabilire i segni da attribuire ai coefficienti, e sommiamo i monomi simili agli esponenti.

=10x^{n+4}+5x^{3n+2}-15x^{n+1}-4x^{n+3}-2x^{3n+1}+6x^{n}-6x^{3}-3x^{2n+1}+9

Poiché non ci sono monomi simili, il polinomio è espresso in forma normale e, di conseguenza, l'esercizio è concluso!
Ringraziano: Omega, ermagnus95, Ely.Sa
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Os