Razionalizzazione e radicali doppi semplici

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Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7419

avt
Lucabig
Frattale
Ciao a tutti, avrei un problema con la razionalizzazione di una frazione e con la semplificazione di un radicale doppio letterale.

La razionalizzazione è questa:

\frac{22\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+4}


Credo che sia abbastanza semplice ma quando vado a moltiplicare c'è qualcosa di storto che non va.

Spero di aver scritto bene il radicale doppio in LaTex poiché avevo problemi nella stesura del radicale doppio perciò lo scrivo a caratteri:

\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-1}}

Qui invece non mi viene un quadrato perfetto e non capisco come devo procedere. Grazie.
 
 

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7449

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lucabig, per razionalizzare

\frac{22\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+4}

facciamo riferimento alla cosiddetta regola della differenza di quadrati:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Per razionalizzare il numero, e quindi eliminare qualsiasi radice dal denominatore, dovremo semplicemente moltiplicare e dividere per 3\sqrt{3}-4. E' come moltiplicare tutta la frazione per 1, solo che ci permette di scrivere il numero in una forma equivalente:

\frac{22\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+4}\frac{3\sqrt{3}-4}{3\sqrt{3}-4}=\frac{22\sqrt{3}(3\sqrt{3}-4)}{9\cdot 3-16}=\frac{198-88\sqrt{3}}{11}

ossia

\frac{198-88\sqrt{3}}{11}

magari potremmo dividere termine a termine...emt

18-8\sqrt{3}


Per quanto riguarda l'esercizio inerente il radicale doppio

\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-1}}

facciamo riferimento alla formula

\sqrt{x-\sqrt{y}}=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-y}}{2}}-\sqrt{\frac{x-\sqrt{x^2-y}}{2}}

prima di passare ai calcoli, riscriviamo il radicale in forma utile portando sotto la radice più interna il coefficiente 2

\sqrt{2a-\sqrt{4a^2-4}}

e dunque calcoliamo

\sqrt{2a-\sqrt{4a^2-4}}=\sqrt{\frac{2a+\sqrt{4a^2-4a^2+4}}{2}}-\sqrt{\frac{2a-\sqrt{4a^2-4a^2+4}}{2}}

Troviamo:

\sqrt{2a-\sqrt{4a^2-4}}=\sqrt{\frac{2a+\sqrt{4}}{2}}-\sqrt{\frac{2a-\sqrt{4}}{2}}

e in conclusione

\sqrt{2a-\sqrt{4a^2-4}}=\sqrt{\frac{2a+2}{2}}-\sqrt{\frac{2a-2}{2}}

\sqrt{2a-\sqrt{4a^2-4}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}

che ne dici?
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Lucabig

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7451

avt
Lucabig
Frattale
Grazie, sei stato gentilissimo, i risultati vengono e la procedura è giusta. Nel primo sbagliavo quando andavo a moltiplicare al numeratore, mentre nel secondo ho perfettamente capito la procedura. emt
Ringraziano: Omega

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7453

avt
Omega
Amministratore
Sei il benvenuto, Luca! emt
Ringraziano: Lucabig

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7456

avt
Lucabig
Frattale
Grazie, comunque mi è sorto un dubbio, se compare un radicale doppio al denominatore di una frazione come si procede?

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7457

avt
Omega
Amministratore
In tal caso riscrivi il radicale doppio a parte come somma/differenza di radicali, poi riscrivi l'espressione di partenza con la forma semplificata del radicale doppio e a questo punto razionalizzi il tutto.

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7462

avt
Lucabig
Frattale
Mmm ho capito, infatti mi è venuto l'es...avrei ancora un dubbio inerente a questa equazione:

\sqrt{6-3\sqrt{3}

Quando vado a sviluppare il quadrato non perfetto mi esce:

\sqrt{\frac{6+\sqrt{24}}{2} - \sqrt{\frac{6-\sqrt{24}}{2}

E non riesco a continuare...

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7464

avt
Omega
Amministratore
Occhio ai conti: nello sviluppo del quadrato non perfetto il risultato non è 24, bensì

6^2-(3\sqrt{3})^2=36-27=9

ecco svelato il mistero emt

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7468

avt
Lucabig
Frattale
Fino ad un secondo fa pensavo si facesse sempre *2 e non alla seconda. Non ho potuto capirlo poichè mi capitava sempre il 2 fuori dal segno di radice, che sbadato che sono.

Re: Razionalizzazione e radicali doppi semplici #7493

avt
Omega
Amministratore
Nessun problema, adesso lo sai... emt
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Os