Esercizio: scomporre con quadrato di trinomio e numeri decimali

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Esercizio: scomporre con quadrato di trinomio e numeri decimali #74172

avt
FAQ
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di scomporre un polinomio a coefficienti decimali con un opportuno prodotto notevole. So che la regola in questione è quella relativa al quadrato di un trinomio, però non so come applicarla nel caso in cui ci siano numeri decimali. Ho bisogno di voi.

Usare l'opportuno prodotto notevole per scomporre il seguente polinomio

0,09+0,06x+0,01 x^2-0,12 y-0,04 x y +0,04 y^2

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, BleakHeart, Iusbe
 
 

Esercizio: scomporre con quadrato di trinomio e numeri decimali #74174

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di scomporre il polinomio

0,09+0,06x+0,01 x^2-0,12 y-0,04 x y +0,04 y^2

conviene trasformare i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici.

La frazione generatrice associata a un numero decimale limitato è quella frazione che ha:

- al numeratore, il numero riportato senza la virgola;

- al denominatore, un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre che compongono la parte decimale;

Dopo aver individuato numeratore e denominatore, occorre ridurre eventualmente ai minimi termini.

Dopo la breve parentesi teorica, determiniamo le frazioni generatrici associate ai coefficienti del polinomio.

Al numero decimale 0,09 associamo la frazione \frac{9}{100}, infatti;

0,09=\frac{9}{100}

Al numero decimale 0,06 associamo la frazione \frac{3}{50}, infatti:

0,06=\frac{6}{100}=\frac{3}{50}

Al numero decimale 0,01 associamo la frazione \frac{1}{100}, infatti:

0,01=\frac{1}{100}

Al numero decimale 0,12 associamo la frazione \frac{3}{25}, infatti:

0,12=\frac{12}{100}=\frac{3}{25}

Al numero decimale 0,04 associamo la frazione \frac{1}{25}, infatti:

0,04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}

Alla luce di queste considerazioni, il polinomio

0,09+0,06x+0,01 x^2-0,12 y-0,04 x y +0,04 y^2=

può essere riscritto come segue:

=\frac{9}{100}+\frac{3}{50}x+\frac{1}{100}x^2-\frac{3}{25}y-\frac{1}{25}xy+\frac{1}{25}y^2=

Possiamo effettuare un passaggio un più: possiamo esprimere i termini a denominatore comune e scrivere l'espressione:

=\frac{1}{100}\left(9+6x+x^2-12y-4xy+4y^2\right)

Tralasciamo momentaneamente il coefficiente moltiplicativo \frac{1}{100} e tentiamo di scomporre il polinomio tra parentesi tonde.

9+6x+x^2-12y-4xy+4y^2

La tecnica di fattorizzazione da adottare prevede l'uso della regola sul quadrato di un trinomio:

A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)^2

Esso è il prodotto notevole che permette di scomporre il polinomio formato dalla somma dei quadrati di tre monomi cui si aggiungono i loro doppi prodotti mediante il quadrato della somma dei monomi dati.

Operativamente, per scomporre il polinomio occorre:

- individuare i quadrati e ricavare le loro basi;

- esaminare i segni dei doppi prodotti e dedurre dall'analisi il segno corretto da dare alle basi;

- usare la regola del quadrato di un trinomio.

Nel polinomio

9+6x+x^2-12y-4xy+4y^2

i termini quadratici sono A^2=9, \ B^2=x^2\ \mbox{e} \ C^2=4y^2. Per via del quadrato, a ciascuno di essi è possibile associare due basi opposte tra loro:

- ad A^2=9 associamo la base A=-3 oppure la base A=3;

- a B^2=x^2 associamo la base B=-x oppure la base B=x;

- a C^2=4y^2 associamo la base C=-2y oppure la base C=2y.

Problema: qual è il segno corretto da attribuire a ciascuna base? Per attribuire i segni opportuni alle basi, occorre analizzare i segni dei coefficienti dei doppi prodotti 6x,\ -12y \ \mbox{e} \ -4xy.

6x è il doppio prodotto tra la base di A^2=9 e quella di B^2=x^2: poiché il coefficiente è positivo, le basi devono necessariamente avere lo stesso segno o, per meglio dire, i loro coefficienti sono numeri concordi;

-12y è il doppio prodotto tra la base di A^2=9 e quella di C^2=4y^2: poiché il coefficiente è negativo, le basi devono essere discordi.

-4xy è il doppio prodotto tra la base di B^2=x e quella di C^2=4y^2: poiché il coefficiente è negativo, le basi devono essere discordi.

Ricapitolando, dall'analisi dei segni dei doppi prodotti, abbiamo dedotto che:

- la base del primo quadrato e quella del secondo devono avere coefficienti concordi;

- la base del primo quadrato e quella del terzo devono avere coefficienti discordi;

- la base del secondo e quella del terzo quadrato devono avere coefficienti discordi.

Se scegliamo A=3, allora per concordanza B=x, mentre per discordanza C=-2y, conseguentemente la scomposizione richiesta è:

9+6x+x^2-12y-4xy+4y^2=(3+x-2y)^2

oer cui

\\ 0,09+0,06x+0,01 x^2-0,12 y-0,04 x y +0,04 y^2= \\ \\ =\frac{1}{100}(3+x-2y)^2

Sia chiaro che possiamo scegliere anche la base A=-3, per cui B=-x\ \mbox{e} \ C=2y, e in virtù del prodotto notevole, possiamo scrivere la seguente scomposizione:

9+6x+x^2-12y-4xy+4y^2=(-3-x+2y)^2

Terminiamo l'esercizio con un'osservazione. Le due scomposizioni sono tra loro equivalenti giacché

3+x-2y \ \ \ \mbox{e} \ \ \ -3-x+2y

sono tra loro opposti e i loro quadrati identici.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, BleakHeart
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