Esercizio equazione di grado 9 #74171

avt
mircosam
Cerchio
In un esercizio sulle equazioni scomponibili mi viene chiesto di calcolare le soluzioni di un'equazione a coefficienti irrazionali. Il problema risiede proprio qui: non so scomporre il polinomio per via dei suoi coefficienti, per questo motivo chiedo il vostro intervento.

Determinare le soluzioni della seguente equazione di nono grado usando le opportune tecniche di scomposizione

x^9-√(3)x^6-4x^3+4√(3) = 0

Grazie.
 
 

Esercizio equazione di grado 9 #74179

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione di nono grado

x^9-√(3)x^6-4x^3+4√(3) = 0

Il nostro obiettivo è quello di determinare le sue eventuali soluzioni e per raggiungerlo utilizzeremo le opportune tecniche di scomposizione.

Potremmo pensare di utilizzare la regola di Ruffini, però è meglio controllare preventivamente se è possibile avvalersi di altre tecniche, come la scomposizione mediante raccoglimento parziale, ad esempio. Se raccogliamo x^6 tra i primi due termini e -4 dagli ultimi due, l'equazione diventa

x^6(x^3-√(3))-4(x^3-√(3)) = 0

Mettendo inoltre in evidenza x^3-√(3) otteniamo

(x^3-√(3))(x^6-4) = 0

A questo punto si prospettano due strade percorribili: possiamo scomporre ulteriormente il polinomio al primo membro, oppure utilizzare la legge di annullamento del prodotto. Quest'ultima è a tutti gli effetti la strategia migliore, infatti tale legge consente di scrivere le due relazioni

x^3-√(3) = 0 , x^6-4 = 0

Se le analizziamo con la dovuta attenzione, comprendiamo immediatamente che esse non sono altro che due equazioni binomie di cui conosciamo il metodo risolutivo.

Risolviamo

x^3-√(3) = 0

isolando al primo membro x^3

x^3 = √(3)

dopodiché estraiamo la radice cubica dei due membri

x = [3]√(√(3))

La regola sulla radice di una radice consente di esprimere il risultato mediante un unico radicale il cui indice è uguale al prodotto degli indici delle due radici

x = sqrt[3·2]3 = [6]√(3)

Dedichiamoci alla seconda equazione binomia

x^6-4 = 0

Risolviamola lasciando x^(6) al primo membro e trasportando -4 al secondo cambiandogli il segno

x^6 = 4

Proprio perché l'esponente è un numero pari, otterremo due soluzioni che sono:

x = ±[6]√(4)

Il risultato può essere ulteriormente semplificato osservando che 4 è il quadrato di 2

x = ±[6]√(2^2)

A questo punto possiamo utilizzare la proprietà invariantiva delle radici: dividiamo l'indice 6 per l'esponente del radicando, 2 ottenendo

x = ±[3]√(2)

In conclusione, l'equazione è determinata e ammette le seguenti soluzioni

x = [6]√(3) , x = ±[3]√(2)

Il suo insieme soluzione è pertanto

S = -[3]√(2), [6]√(3), [3]√(2)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Iusbe, mircosam
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Os