Equazione fratta con termini trigonometrici

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Equazione fratta con termini trigonometrici #73952

avt
Overmind
Punto
Dovrei risolvere un'equazione trigonometrica fratta con seno, tangente e cotangente, usando la relazione fondamentale della goniometria. Nonostante i numerosi tentativi, i miei risultati non coincidono con quelli del professore. Potreste aiutarmi?

Determinare l'insieme soluzione della seguente equazione goniometrica:

\frac{2}{\sin(2x)}-\cot(2x)=\tan(2x)

Grazie mille.
Ringraziano: Omega
 
 

Equazione fratta con termini trigonometrici #74004

avt
jimmypage1976
Sfera
Per risolvere l'equazione goniometrica

\frac{2}{\sin(2x)}-\cot(2x)=\tan(2x)

bisogna prima di tutto le condizioni di esistenza, richiedendo che:

- il seno di 2x sia diverso da zero:

\sin(2x)\ne 0\ \ \ \to \ \ \ 2x\ne k\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne \frac{k\pi}{2}

con k\in\mathbb{Z};

- l'argomento della cotangente sia diverso da k\pi, dove k è un numero intero:

2x\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

da cui

x\ne\frac{k\pi}{2} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

- l'argomento della tangente sia diverso da \frac{\pi}{2}+k\pi, con k numero intero:

2x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}

In definitiva, l'equazione è ben posta se x sottostà ai vincoli:

C.E.:\ x\ne \frac{k\pi}{2} \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne\frac{\pi}{4}+\fra{k\pi}{2}

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo tornare a occuparci dell'equazione fratta:

\frac{2}{\sin(2x)}-\cot(2x)=\tan(2x)

Il prossimo passaggio consiste nell'esprimere l'equazione in termini di soli seni e coseni, usando le definizioni di tangente e cotangente:

\tan(2x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\ \ \ , \ \ \ \cot(2x)=\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}

È proprio grazie a queste identità che l'equazione diventa

\frac{2}{\sin(2x)}-\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}

A questo punto, esprimiamo i due membri a denominatore comune

\frac{(2-\cos(2x))\cos(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)}=\frac{\sin^2(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)}

e moltiplichiamo a destra e a sinistra per \sin(2x)\cos(2x)

(2-\cos(2x))\cos(2x)=\sin^2(2x)

Distribuiamo \cos(2x) a ciascun termine nelle parentesi tonde

2\cos(2x)-\cos^2(2x)=\sin^2(2x)

trasportiamo -\cos^2(2x) al secondo membro

2\cos(2x)=\sin^2(2x)+\cos^2(2x)

e usiamo la relazione fondamentale della goniometria, la quale garantisce che il secondo membro è uguale a 1.

2\cos(2x)=1 \ \ \ \to \ \ \ \cos(2x)=\frac{1}{2}

Aiutandoci eventualmente con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, scopriamo che il coseno è \frac{1}{2} se e solo se il suo argomento è uguale a -\frac{\pi}{3} oppure è uguale a -\frac{\pi}{3}, a meno di multipli di 2\pi, vale a dire se:

\\ 2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{6}+k\pi

dove k è un numero intero.

Possiamo concludere che l'insieme delle soluzioni associato a

\frac{2}{\sin(2x)}-\cot(2x)=\tan(2x)

è composto da due famiglie di soluzioni:

x=-\frac{\pi}{6}+k\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{\pi}{6}+k\pi

con k\in\mathbb{Z}.

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os