Equazione fratta con termini trigonometrici

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Equazione fratta con termini trigonometrici #73952

Overmind Punto	Dovrei risolvere un'equazione trigonometrica fratta con seno, tangente e cotangente, usando la relazione fondamentale della goniometria. Nonostante i numerosi tentativi, i miei risultati non coincidono con quelli del professore. Potreste aiutarmi? Determinare l'insieme soluzione della seguente equazione goniometrica: $\frac{2}{\sin(2x)}-\cot(2x)=\tan(2x)$ Grazie mille.
	Ringraziano: Omega

Equazione fratta con termini trigonometrici #74004

jimmypage1976

Sfera

Per risolvere l'equazione goniometrica

$\frac{2}{\sin(2x)}-\cot(2x)=\tan(2x)$

bisogna prima di tutto le condizioni di esistenza, richiedendo che:

- il seno di

sia diverso da zero:

$\sin(2x)\ne 0\ \ \ \to \ \ \ 2x\ne k\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne \frac{k\pi}{2}$

con $k\in\mathbb{Z}$ ;

- l'argomento della cotangente sia diverso da $k\pi$ , dove

è un numero intero:

$2x\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}$

da cui

$x\ne\frac{k\pi}{2} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}$

- l'argomento della tangente sia diverso da $\frac{\pi}{2}+k\pi$ , con

numero intero:

$2x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \to \ \ \ x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$

In definitiva, l'equazione è ben posta se

sottostà ai vincoli:

$C.E.:\ x\ne \frac{k\pi}{2} \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne\frac{\pi}{4}+\fra{k\pi}{2}$

dove $\wedge$ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo tornare a occuparci dell'equazione fratta:

$\frac{2}{\sin(2x)}-\cot(2x)=\tan(2x)$

Il prossimo passaggio consiste nell'esprimere l'equazione in termini di soli seni e coseni, usando le definizioni di tangente e cotangente:

$\tan(2x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\ \ \ , \ \ \ \cot(2x)=\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$

È proprio grazie a queste identità che l'equazione diventa

$\frac{2}{\sin(2x)}-\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$

A questo punto, esprimiamo i due membri a denominatore comune

$\frac{(2-\cos(2x))\cos(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)}=\frac{\sin^2(2x)}{\sin(2x)\cos(2x)}$

e moltiplichiamo a destra e a sinistra per $\sin(2x)\cos(2x)$

$(2-\cos(2x))\cos(2x)=\sin^2(2x)$

Distribuiamo $\cos(2x)$ a ciascun termine nelle parentesi tonde

$2\cos(2x)-\cos^2(2x)=\sin^2(2x)$

trasportiamo $-\cos^2(2x)$ al secondo membro

$2\cos(2x)=\sin^2(2x)+\cos^2(2x)$

e usiamo la relazione fondamentale della goniometria, la quale garantisce che il secondo membro è uguale a 1.

$2\cos(2x)=1 \ \ \ \to \ \ \ \cos(2x)=\frac{1}{2}$

Aiutandoci eventualmente con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, scopriamo che il coseno è $\frac{1}{2}$ se e solo se il suo argomento è uguale a $-\frac{\pi}{3}$ oppure è uguale a $-\frac{\pi}{3}$ , a meno di multipli di $2\pi$ , vale a dire se:

$\\ 2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi \\ \\ \mbox{oppure}\\ \\ 2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{6}+k\pi$

dove

è un numero intero.

Possiamo concludere che l'insieme delle soluzioni associato a

$\frac{2}{\sin(2x)}-\cot(2x)=\tan(2x)$

è composto da due famiglie di soluzioni:

$x=-\frac{\pi}{6}+k\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{\pi}{6}+k\pi$

con $k\in\mathbb{Z}$ .

Ecco fatto.

Ringraziano: Omega, Pi Greco

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