Per risolvere l'
equazione goniometrica
bisogna prima di tutto le
condizioni di esistenza, richiedendo che:
- il
seno di

sia diverso da zero:
con

;
- l'argomento della
cotangente sia diverso da

, dove

è un
numero intero:
da cui
- l'argomento della tangente sia diverso da

, con

numero intero:
In definitiva, l'equazione è ben posta se

sottostà ai vincoli:
dove

è il
simbolo matematico che indica il
connettivo logico "e".
Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo tornare a occuparci dell'
equazione fratta:
Il prossimo passaggio consiste nell'esprimere l'equazione in termini di soli seni e coseni, usando le definizioni di tangente e cotangente:
È proprio grazie a queste identità che l'equazione diventa
A questo punto, esprimiamo i due membri a
denominatore comune
e moltiplichiamo a destra e a sinistra per
Distribuiamo

a ciascun termine nelle
parentesi tonde
trasportiamo

al secondo membro
e usiamo la
relazione fondamentale della goniometria, la quale garantisce che il secondo membro è uguale a 1.
Aiutandoci eventualmente con la tabella dei
valori notevoli delle funzioni goniometriche, scopriamo che il coseno è

se e solo se il suo argomento è uguale a

oppure è uguale a

, a meno di multipli di

, vale a dire se:
dove

è un
numero intero.
Possiamo concludere che l'insieme delle soluzioni associato a
è composto da due famiglie di soluzioni:
con

.
Ecco fatto.