Esercizio su equazione lineare goniometrica e metodo dell'angolo aggiunto

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Esercizio su equazione lineare goniometrica e metodo dell'angolo aggiunto #73936

avt
ermagnus95
Frattale
Dovrei utilizzare il metodo dell'angolo aggiunto per risolvere un'equazione goniometrica lineare in seno e coseno. Penso di aver capito come funzione la procedura, però il sistema che definisce l'angolo aggiunto non fornisce un angolo noto ed è li che mi blocco. Come devo procedere? Faccio notare che nelle soluzioni compare l'arcotangente.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione lineare goniometrica con il metodo dell'angolo aggiunto.

3\sin(x)+4\cos(x)=5

Grazie!
 
 

Esercizio su equazione lineare goniometrica e metodo dell'angolo aggiunto #73937

avt
Pi Greco
Kraken
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione lineare in seno e coseno

3\sin(x)+4\cos(x)=5

con il metodo dell'angolo aggiunto che consiste nel determinare un numero reale non negativo R e un angolo \phi, compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi, mediante i quali siamo in grado di considerare l'equazione equivalente

R\sin(x+\phi)=C

Sia R che \phi dipendono dai coefficienti di seno e coseno, A\ \mbox{e} \ B, in particolare:

R è definito come la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti, vale a dire

R=\sqrt{A^2+B^2}

\phi è invece l'angolo compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi che soddisfa il sistema di equazioni

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{B}{R}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{A}{R}\end{cases}

Nel caso in esame i coefficienti di seno e coseno sono

A=3 \ \ \ , \ \ \ B=4

e grazie a essi possiamo ricavare R

R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5

Noto il valore di R, calcoliamo l'angolo aggiunto \phi impostando il sistema

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{4}{5} \\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{3}{5}\end{cases}

Purtroppo \phi non è un angolo noto, però non tutto è perduto: è sufficiente dividere i membri dell'equazione

\frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}

sfruttare la definizione di tangente e scrivere in forma normale la frazione di frazioni a destra

\tan(\phi)=\frac{4}{3}

Per risolvere l'equazione con la tangente, bisogna utilizzare l'arcotangente perché non è notevole l'angolo la cui tangente sia uguale a \frac{4}{3}

\phi=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

A noi serve l'angolo che giace nell'intervallo 0\le \phi<2\pi e che soddisfa la relazione \sin(\phi)=\frac{4}{5}, ed è quello che si ottiene per k=0

\phi=\arctan\left(\frac{4}{3}\right)

Noti R\ \mbox{e}\ \phi, siamo in grado di passare dall'equazione

3\sin(x)+4\cos(x)=5

a quella equivalente

5\sin\left(x+\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)=5

la quale, una volta divisi i membri per 5, diventa

\sin\left(x+\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)=1

Ricordiamo che il seno di un angolo è uguale a 1 se l'angolo vale \frac{\pi}{2}, a meno di multipli interi di 2\pi, deve pertanto sussistere l'equazione di primo grado

x+\arctan\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{R}

da cui

x=\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{4}{3}\right)+2k\pi

con k numero intero.

Possiamo pertanto concludere che le soluzioni dell'equazione

3\sin(x)+4\cos(x)=5

sono

x=\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{4}{3}\right)+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Abbiamo finito.
Ringraziano: ermagnus95
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Os