Equazione goniometrica lineare in seno e coseno non omogenea

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Equazione goniometrica lineare in seno e coseno non omogenea #73915

avt
ermagnus95
Frattale
Mi è capitata un'equazione trigonometrica con seno e coseno che non ho idea di come si faccia. Il mio professore ha spiegato che si tratta di un'equazione lineare in seno e coseno, però non capisco come questa informazione possa aiutarmi a risolverla.

Calcolare tutte le soluzioni dell'equazione goniometrica

\cos(x)-\sin(x)=1

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica lineare in seno e coseno non omogenea #74089

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di iniziare la risoluzione di

\cos(x)-\sin(x)=1

bisogna comprenderne la struttura e classificarla: essa è un'equazione lineare in seno e coseno perché si presenta nella forma

A\sin(x)+B\cos(x)=C

dove A,\ B\ \mbox{e} \ C sono rispettivamente i coefficienti di seno e coseno, e il cosiddetto termine noto.

A=-1 \ \ \ , \ \ \ B=1 \ \ \ , \ \ \ C=1

Quando l'equazione è in questa forma, possiamo avvalerci di diverse strategie risolutive: il metodo dell'angolo aggiunto, il metodo grafico o ancora il metodo algebrico.

Per questa particolare equazione useremo il metodo algebrico che si compone di due passaggi: il primo consiste nel verificare se x=\pi è soluzione o meno dell'equazione, il secondo prevede invece di usare le formule parametriche.

Per verificare che x=\pi sia soluzione oppure no, basta rimpiazzare \pi al posto dell'incognita, sviluppare i calcoli e controllare se l'equazione è soddisfatta oppure no

\cos(\pi)-\sin(\pi)=1 \ \ \ \to \ \ \ -1=1

Chiaramente non abbiamo ottenuto un'uguaglianza, pertanto x=\pi non è soluzione.

Per x\ne \pi +2k\pi\ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}, procediamo con la sostituzione

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

che ci permette di esprimere seno e coseno in termini di t

\sin(x)=\frac{2t}{t^2+1} \ \ \ , \ \ \ \cos(x)=\frac{1-t^2}{t^2+1}

e di scrivere l'equazione fratta di secondo grado nell'incognita t

\frac{1-t^2}{t^2+1}-\frac{2t}{t^2+1}=1

Trasportiamo 1 al primo membro

\frac{1-t^2}{t^2+1}-\frac{2t}{t^2+1}-1=0

e sommiamo tra loro le frazioni algebriche

\frac{1-t^2-2t-(t^2+1)}{t^2+1}=0

Una volta cancellato il denominatore e sommati tra loro i monomi simili, ci riconduciamo all'equazione di secondo grado

-2t^2-2t=0

In realtà, essa è più precisamente un'equazione spuria che possiamo risolvere raccogliendo il fattore comune -2t e sfruttando in seguito la legge di annullamento del prodotto

-2t(t+1)=0 \ \ \ \to \ \ \ t=0 \ \ , \ \ t=-1

Adesso è giunto il momento di ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

Grazie a essa, la relazione t=0 si traduce nell'equazione goniometrica elementare con la tangente

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=0

da cui

\frac{x}{2}=k\pi\ \ \ \to \ \ \ x=2k\pi

dove k è un numero intero.

La relazione t=-1 si traduce invece nell'equazione

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=-1

soddisfatta nel momento in cui l'argomento della tangente coincide con -\frac{\pi}{4}+k\pi, ossia se sussiste l'equazione di primo grado

\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

da cui moltiplicando i due membri per 2

x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In definitiva, possiamo concludere che l'equazione lineare in seno e coseno è soddisfatta per

x=2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "or".

Abbiamo finito.
Ringraziano: ermagnus95
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Os