Equazione trigonometrica lineare con sostituzione e metodo grafico

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Equazione trigonometrica lineare con sostituzione e metodo grafico #73554

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio in cui mi viene chiesto di risolvere un'equazione goniometrica usando il metodo del passaggio al sistema. Quella che mi ritrovo però non sembra essere un'equazione lineare in seno e coseno e applicando il metodo suggerito, ottengo risultati completamente diversi da quelli del testo.

Risolvere la seguente equazione goniometrica con il metodo del passaggio al sistema

\sin\left(2x+\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(2x+\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}

Come si fa? Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois
 
 

Equazione trigonometrica lineare con sostituzione e metodo grafico #73555

avt
Pi Greco
Kraken
Sebbene l'esercizio suggerisca di usare il metodo del passaggio al sistema, l'equazione goniometrica

\sin\left(2x+\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(2x+\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}

non è esattamente nella forma normale richiesta.

Affinché sia possibile utilizzare il metodo, l'equazione deve presentarsi nella forma

A\sin(t)+B\cos(t)=C

ossia dev'essere un'equazione lineare in seno e coseno. Non tutto è perduto, possiamo utilizzare un'opportuna sostituzione così da ricondurci nella forma normale richiesta.

È sufficiente infatti porre

t=2x+\frac{\pi}{8}

e riscrivere l'equazione nella forma

\sin(t)+\cos(t)=\sqrt{2}

Adesso siamo autorizzati a usare il metodo del passaggio al sistema che prevede di impostare il sistema di equazioni avente per prima equazione l'equazione data e per seconda la relazione fondamentale della goniometria

\cos^2(t)+\sin^2(t)=1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ t\in\mathbb{R}

Il sistema da risolvere è dunque

\begin{cases}\sin(t)+\cos(t)=\sqrt{2}\\ \\ \cos^2(t)+\sin^2(t)=1\end{cases}

Procediamo operando le seguenti sostituzioni

X=\cos(t)\ \ \ ,\ \ \ Y=\sin(t)

mediante le quali ricaviamo il sistema nelle incognite X\ \mbox{e} \ Y

\begin{cases}Y+X=\sqrt{2}\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

Sfruttiamo la prima relazione per esprimere Y in termini di X

\begin{cases}Y=\sqrt{2}-X\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione nella seconda equazione

\begin{cases}Y=\sqrt{2}-X\\ \\ X^2+(\sqrt{2}-X)^2=1\end{cases}

Una volta sviluppato il quadrato di binomio e sommati tra loro i monomi simili, il sistema diventa

\begin{cases}Y=\sqrt{2}-X\\ \\ 2X^2-2\sqrt{2}X+1=0\end{cases}

Occupiamoci momentaneamente dell'equazione di secondo grado

2X^2-2\sqrt{2}X+1=0

Chiamiamo a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di X^2, quello di X e il termine noto

a=2 \ \ \ ,\ \ \ b=-2\sqrt{2}\ \ \ , \ \ \ c=1

Poiché il coefficiente di X è facilmente divisibile per 2, possiamo utilizzare la formula del delta quarti per ricavare le eventuali soluzioni

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=(-\sqrt{2})^2-2\cdot 1=0

Poiché il delta quarti è nullo, l'equazione in X ammette due soluzioni reali e coincidenti ricavabili con la relazione

X_1=X_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Siamo quindi autorizzati a riscrivere il sistema come segue:

\begin{cases}Y=\sqrt{2}-X\\ \\ X=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

e una volta rimpiazzato il valore di X nella prima equazione, ricaviamo l'Y associato

\begin{cases}Y=\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ \to \ \ \ Y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ X=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

Nel piano cartesiano OXY

(X,Y)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

rappresenta il punto di intersezione tra la retta di equazione

X+Y=\sqrt{2}

e la circonferenza goniometrica, la cui equazione è

X^2+Y^2=1

Esercizi equazioni lineari in seno e coseno 13

È giunto il momento di ripristinare seno e coseno tenendo conto delle sostituzioni

X=\cos(t) \ \ \ , \ \ \ Y=\sin(t)

mediante le quali il sistema

\begin{cases}X=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ Y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

si riscrive come

\begin{cases}\cos(t)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ \to \ \ \ t=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \vee \ \ t=\dfrac{7\pi}{4}+2k\pi \\ \\ \sin(t)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ \to \ \ \ t=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \vee \ \ t=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\end{cases}

Le soluzioni comuni alle due relazioni sono:

t=\frac{\pi}{4}+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi. Attenzione, non abbiamo ancora finito: dobbiamo ritornare nell'incognita x tenendo presente la sostituzione

t=2x+\frac{\pi}{8}

grazie alla quale

t=\frac{\pi}{4}+2k\pi

si traduce nell'equazione di primo grado nell'incognita x

2x+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}+2k\pi

da cui

x=\frac{\pi}{16}+k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Abbiamo terminato l'esercizio.
Ringraziano: Manila, Galois, Bohrstein
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Os