Esercizio di scomposizione di un polinomio con esponenti letterali

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Esercizio di scomposizione di un polinomio con esponenti letterali #7351

avt
EGLA
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulla scomposizione di polinomi davvero particolare: il polinomio da scomporre è infatti a esponenti letterali. Secondo il mio insegnante, devo utilizzare diverse tecniche di fattorizzazione, tra cui quella relativa al prodotto notevole sulla somma di cubi. Potreste aiutarmi?

Scomporre il seguente polinomio al variare del parametro naturale n

\frac{1}{8}x^{4n+1}+\frac{1}{8}x^{4n}y+27x^{n+4}y^{3}+27x^{3+n}y^{4}

Grazie mille.
 
 

Esercizio di scomposizione di un polinomio con esponenti letterali #8114

avt
nando
Frattale
Per poter fattorizzare il polinomio:

\frac{1}{8}x^{4n+1}+\frac{1}{8}x^{4n}y+27x^{n+4}y^{3}+27x^{3+n}y^{4}

bisogna usare diverse tecniche di scomposizione, nonché le proprietà delle potenze.

Per prima cosa, applichiamo la regola sul prodotto di due potenze con la stessa base che, letta al contrario, garantisce la correttezza delle seguenti uguaglianze:

x^{4n+1}=x\cdot x^{4n} \ \ \ , \ \ \ x^{n+4}=x^{4}\cdot x^{n} \ \ \ , \ \ \ x^{n+3}=x^{3}\cdot x^{n}

pertanto il polinomio

\frac{1}{8}x^{4n+1}+\frac{1}{8}x^{4n}y+27x^{n+4}y^{3}+27x^{3+n}y^{4}=

diventa

=\frac{1}{8}\cdot x\cdot x^{4n}+\frac{1}{8}x^{4n}y+27\cdot x^{4}\cdot x^{n}y^3+27\cdot x^{n}\cdot x^{3}y^4=

Osserviamo che in ciascun termine del polinomio compare il fattore x^{n}, dunque possiamo tranquillamente metterlo in evidenza (tecnica del raccoglimento totale):

\\ =x^{n}\left(\frac{1}{8}x\cdot x^{4n-n}+\frac{1}{8}x^{4n-n}y+27\cdot x^4\cdot x^{n-n}y^{3}+27 x^{3}\cdot x^{n-n}y^{4}\right)= \\ \\ \\ = x^{n}\left(\frac{1}{8}\cdot x\cdot x^{3n}+\frac{1}{8}x^{3n}y+27x^4 y^3+27x^{3}y^4\right)=

Per scomporre il termine nelle parentesi tonde, possiamo procedere con un raccoglimento parziale: più precisamente, possiamo raccogliere \frac{1}{8}x^{3n} tra il primo e il secondo termine e 27x^3y^3 tra il terzo e il quarto.

=x^{n}\left[\frac{1}{8}x^{3n}\left(x+y\right)+27x^{3}y^{3}(x+y)\right]=

Mettiamo in evidenza il fattore comune x+y

=x^{n}(x+y)\left[\frac{1}{8}x^{3n}+27x^{3}y^{3}\right]

e tentiamo di scomporre il polinomio all'interno delle parentesi quadre: esso è la somma dei cubi di \frac{1}{2}x^{n} \ \mbox{e} \ 3x y. Per dimostrarlo, è sufficiente usare le proprietà delle potenze ai seguenti cubi:

\\ \left(\frac{1}{2}x^{n}\right)^{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^3 (x^{n})^{3}=\frac{1}{8}x^{3n} \\ \\ \\ (3xy)^{3}=3^3 \cdot x^3\cdot y^3=27x^3 y^3

La regola sulla somma di cubi è quel prodotto notevole che permette di scomporre la somma di due cubi mediante il prodotto tra la somma delle basi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, il quadrato della seconda e il loro prodotto cambiato di segno.

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

Nel caso considerato le due basi sono

A=\frac{1}{2}x^{n} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=3xy

pertanto:

\\ \frac{1}{8}x^{3n}+27x^{3}y^3=\left(\frac{1}{2}x^{n}+3x y\right)\left(\left(\frac{1}{2}x^{n}\right)^2-\frac{1}{2}x^{n}\cdot 3x y+(3x y)^2\right)= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{2}x^{n}+3x y\right)\left(\frac{1}{4}x^{2n}-\frac{3}{2}x^{n+1}y+9x^2 y^2\right)

Con la scomposizione ottenuta, siamo in grado di portare a termine l'esercizio, infatti:

\\ x^{n}(x+y)\left[\frac{1}{8}x^{3n}+27x^{3}y^{3}\right]= \\ \\ \\ =x^{n}(x+y)\left(\frac{1}{2}x^{n}+3x y\right)\left(\frac{1}{4}x^{2n}-\frac{3}{2}x^{n+1}y+9x^2 y^2\right)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, EGLA
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Os