Esercizio massimo comun divisore e minimo comune multiplo di polinomi

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Esercizio massimo comun divisore e minimo comune multiplo di polinomi #73408

avt
FAQ
Punto
Mi serve il vostro aiuto per ricavare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di un gruppo di polinomi. So che per determinali, devo prima scomporre in fattori irriducibili ciascun polinomio, però non ne sono capace. Potreste aiutarmi?

Determinare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo del seguente gruppo di polinomi

a^{2}-4b^{2} \ \ \ ; \ \ \ a^2-2ab \ \ \ ; \ \ \ 4ab^2-8b^3

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois, Heisenberg Cooper
 
 

Esercizio massimo comun divisore e minimo comune multiplo di polinomi #73411

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel determinare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei polinomi

a^{2}-4b^{2} \ \ \ ; \ \ \ a^2-2ab \ \ \ ; \ \ \ 4ab^2-8b^3

Il primo passaggio prevede di scomporre i polinomi in fattori irriducibili, usando le opportune tecniche di scomposizione.

Occupiamoci di a^2-4b^2, esso è la differenza di due quadrati e si esprime nel prodotto della somma tra a\ \mbox{e} \ 2b per la loro differenza:

a^{2}-4b^{2}=(a-2b)(a+2b)

Per quanto riguarda il secondo polinomio, procediamo con il raccoglimento totale: mettiamo in evidenza il fattore comune a

a^2-2ab=a(a-2b)

Usiamo la medesima tecnica per scomporre il terzo polinomio: in questo caso raccogliamo totalmente il fattore comune 4b^2

4ab^2-8b^3=4b^2(a-2b)

Una volta fattorizzati i polinomi, usiamo le seguenti regole:

- il massimo comune divisore di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta con il più piccolo esponente;

- il minimo comune multiplo di due o più polinomi, scomposti in fattori irriducibili, è il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, ciascuno con il più grande esponente.

Alla luce di queste due regole, possiamo concludere che il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo dei polinomi dati sono:

MCD=a-2b \ \ \ \mbox{e} \ \ \ mcm=4ab^2(a-2b)(a+2b)

rispettivamente. Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, ermagnus95, BleakHeart, Berkila, Heisenberg Cooper
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