Equazione goniometrica con confronto tra cotangenti

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Equazione goniometrica con confronto tra cotangenti #73389

avt
FAQ
Punto
Mi è capitata un'equazione goniometrica con le cotangenti che non sono in grado di risolvere. Il mio professore ha affermato che le soluzioni si ricavano confrontando gli argomenti, ma procedendo così, i risultati non coincidono con quelli del libro.

Determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\cot(-2x)-\cot\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)=0

Grazie.
Ringraziano: ermagnus95
 
 

Equazione goniometrica con confronto tra cotangenti #73392

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione goniometrica

\cot(-2x)-\cot\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)=0

Il nostro compito consiste nel calcolare le sue soluzioni, ma prima è necessario imporre le condizioni di esistenza associate alle cotangenti.

Ricordiamo, infatti, che la cotangente di un angolo è ben posta nel momento in cui l'angolo è diverso da h\pi, al variare di h nell'insieme dei numeri interi, per cui scriviamo le relazioni:

-2x\ne h\pi \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 5x+\frac{\pi}{2}\ne h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

da cui, risolvendole rispetto a x ricaviamo i vincoli che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni.

C.E. \  : \ x\ne -\frac{h\pi}{2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\ne -\frac{\pi}{10}+\frac{h\pi}{5}

Note le condizioni di esistenza, possiamo tornare all'equazione

\cot(-2x)-\cot\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)=0

ed esprimerla in forma normale, isolando \cot(-2x) al primo membro

\cot(-2x)=\cot\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)

Per poter esplicitare le soluzioni, usiamo la seguente regola: due angoli hanno la stessa cotangente se sottostanno alle condizioni di esistenza e se differiscono di un numero intero di angoli piatti, in formule:

-2x=5x+\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Essa è una semplice equazione di primo grado nell'incognita x: per risolverla è sufficiente isolare l'incognita al primo membro.

-2x-5x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \to \ \ \ -7x=\frac{\pi}{2}+k\pi

Dividendo i due membri per -7 ricaviamo:

x=-\frac{\pi}{14}-\frac{k\pi}{7}

Attenzione! Dobbiamo eliminare dalla famiglia i valori che non sottostanno alle condizioni di esistenza, ossia tutti quegli x per cui

x= -\frac{h\pi}{2} \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ x= -\frac{\pi}{10}+\frac{h\pi}{5}

Se a x rimpiazziamo -\frac{\pi}{14}-\frac{k\pi}{7}, le precedenti relazioni diventano

-\frac{\pi}{14}-\frac{k\pi}{7}= -\frac{h\pi}{2} \ \ \ \mbox{o} \ \ \ -\frac{\pi}{14}-\frac{k\pi}{7}= -\frac{\pi}{10}+\frac{h\pi}{5}

da cui, risolvendo rispetto a k:

k=-\frac{1}{2}+\frac{7h}{2}\ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ k=\frac{1}{5}-\frac{7h}{5}

In definitiva, possiamo concludere che le soluzioni dell'equazione

\cot(-2x)-\cot\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)=0

sono del tipo

x=-\frac{\pi}{14}-\frac{k\pi}{7}

dove k è un numero intero che sottostà alle seguenti condizioni:

k\ne -\frac{1}{2}+\frac{7h}{2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ k\ne\fra{1}{5}-\frac{7h}{5}

Abbiamo finito.
Ringraziano: ArmoniaMusicae
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Os