Esercizio: scomporre un polinomio di grado 6 con Ruffini

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Esercizio: scomporre un polinomio di grado 6 con Ruffini #73378

avt
danying
Sfera
Dovrei applicare la regola di Ruffini per scomporre un polinomio di sesto grado. Dopo aver impostato la tabella e fatto i calcoli, ottengo una scomposizione diversa da quella del risultato e non capisco cosa sbaglio.

Avvalendosi del metodo di Ruffini, scomporre il seguente polinomio

P(a) = a^6-2a+1

Grazie.
 
 

Esercizio: scomporre un polinomio di grado 6 con Ruffini #73381

avt
Galois
Amministratore
Prima di scomporre il polinomio

P(a) = a^6-2a+1

usando il metodo di Ruffini, bisogna assicurarsi che P(a) sia un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di a e lo è. Inoltre bisogna riscrivere il polinomio inserendo zeri al posto delle potenze mancanti di a.

P(a) = a^6+0·a^5+0·a^4+0·a^3+0·a^2-2a+1

Per poter innescare il metodo di Ruffini, abbiamo bisogno di una qualsiasi radice razionale di P(a). Detto in termini un po' più espliciti, abbiamo bisogno di un numero razionale che annulla il polinomio.

La radice razionale si presenta nella forma (p)/(q) dove:

- il numeratore p è un divisore intero del termine noto;

- il denominatore q è un divisore intero del coefficiente direttivo, ossia il coefficiente del termine di grado massimo.

Nel nostro caso, il coefficiente del termine di grado massimo è 1, così come è 1 il termine noto, i cui divisori sono:

Divisori interi di 1 = ±1

Le possibili radici razionali sono pertanto

-1, 1

Valutiamo P(a) per a = -1 nella speranza che tale valore annulli il polinomio

P(-1) = (-1)^6-2(-1)+1 = 1+2+1 = 3 ne 0

-1 non è la radice.

Valutiamo il polinomio per a = 1

P(1) = 1^6-2·1+1 = 1-2+1 = 0

Perfetto, abbiamo determinato la radice che consente di innescare il metodo di Ruffini, in base al quale il polinomio si scompone come prodotto tra il fattore del tipo (a-radice) e un polinomio di quinto grado Q(a) con coefficienti da determinare: in simboli matematici

P(a) = (a-1)Q(a)

Per ricavare i coefficienti di Q(a) costruiamo la tabella di Ruffini: sulla prima riga inseriamo i coefficienti di P(a), sulla seconda riga inseriamo la radice

beginarrayc|ccccccccccc|c 1 0 0 0 0 -2 1 ; ; ; ; 1 ; hline endarray

Riportiamo in basso 1, moltiplichiamolo per la radice e riportiamo il risultato sotto lo zero

beginarrayc|ccccccccccc|c 1 0 0 0 0 -2 1 ; ; ; ; 1 1 ; hline 1 endarray

Addizioniamo 1 e 0, scriviamo il risultato sotto la linea orizzontale

beginarrayc|ccccccccccc|c 1 0 0 0 0 -2 1 ; ; ; ; 1 1 ; hline 1 1 endarray

Moltiplichiamo l'1 per la radice, scriviamo il risultato sotto lo zero e in seguito addizioniamo

beginarrayc|ccccccccccc|c 1 0 0 0 0 -2 1 ; ; ; ; 1 1 1 ; hline 1 1 1 endarray

Continuiamo con lo stesso ragionamento fino a riempire l'intera tabella

beginarrayc|ccccccccccc|c 1 0 0 0 0 -2 1 ; ; ; ; 1 1 1 1 1 1 -1 ; hline 1 1 1 1 1 -1 // endarray

Gli elementi dell'ultima riga rappresentano i coefficienti di Q(a), ordinati secondo le potenze decrescenti di a, di conseguenza il polinomio Q(a) è:

Q(a) = a^5+a^4+a^3+a^2+a-1

L'esercizio non è ancora concluso: bisogna controllare se il polinomio ottenuto sia ulteriormente scomponibile. Come fare? Come abbiamo fatto per il polinomio P(a)!

Il coefficiente direttore di Q(a) è 1, mentre il suo termine noto è -1, di conseguenza le possibili radici razionali sono -1 oppure 1. Determiniamo le valutazioni di Q(a) per a = -1 e a = 1

Q(-1) = (-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2+(-1)-1 = -2 ne 0 ; mentre ; Q(1) = 1^5+1^4+1^3+1^2+1-1 = 4 ne 0

Poiché entrambi i valori sono diversi da zero, il polinomio Q(a) non può essere ulteriormente scomponibile con la regola di Ruffini.

Siamo finalmente in grado di concludere che la scomposizione del polinomio P(a) è:

P(a) = (a-1)Q(a) = (a-1)(a^5+a^4+a^3+a^2+a-1)

Abbiamo terminato.
Ringraziano: danying
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Os