Esercizio su divisione tra polinomi e regola dei segni

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Esercizio su divisione tra polinomi e regola dei segni #73338

avt
FAQ
Punto
Mi è capitato un esercizio sulla divisione polinomiale caratterizzata dal fatto che sia il polinomio dividendo che il polinomio divisore non sono completi rispetto alla lettera. Mi trovo in serie difficoltà, tant'è che non riesco nemmeno a svolgere la divisione in colonna.

Dopo aver calcolato il quoziente Q(x) e il resto R(x) della divisione tra polinomi

(-x-x^2-6x^5-24x^6):(-1-6x^3)

verificare la correttezza dell'esercizio mostrando la validità della seguente relazione

-x-x^2-6x^5-24x^6=Q(x)(-1-6x^3)+R(x)

Grazie.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, ermagnus95, Berkila
 
 

Esercizio su divisione tra polinomi e regola dei segni #73359

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di calcolare il quoziente e il resto della divisione polinomiale

(-x-x^2-6x^5-24x^6):(-1-6x^3)

bisogna controllare che il dividendo

N(x)=-x-x^2-6x^5-24x^6

e il divisore

D(x)=-1-6x^3

siano sia polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di x, sia polinomi completi. In questa circostanza, i polinomi non sono né ordinati né tanto meno completi: si noti infatti che a N(x) mancano la potenza quarta, la potenza terza e il termine noto; a D(x) mancano la potenza seconda e la potenza di primo grado di x.

Per ovviare ai problemi, possiamo tranquillamente ordinare i polinomi e inserire gli zeri al posto delle potenze mancanti e ricavare la forma completa:

\\ N(x)=-24x^6-6x^5+0x^4+0x^3-x^2-x+0 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ D(x)=-6x^3+0x^2+0x-1

Disponiamo i due polinomi nella tabella della divisione e completiamola seguendo l'algoritmo

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&&&&\end{array}

Per prima cosa dividiamo il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore

-24x^6:(-6x^3)=+4x^{6-3}=4x^3

e riportiamo il risultato sotto il divisore

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&&&\end{array}

Moltiplichiamo 4x^3 per ciascun termine del divisore e incolonniamo i prodotti, cambiati di segno, sotto il dividendo

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&&&\\ +24x^6&+0x^5&+0x^5&+4x^3&&&&&&&\\ \cline{1-7}&&&&&&\end{array}

A questo punto addizioniamo i monomi e riportiamo i risultati al di sotto della linea di separazione

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&&&\\ +24x^6&+0x^5&+0x^4&+4x^3&&&&&&&\\ \cline{1-7}//&-6x^5&+0x^4&+4x^3&-x^2&-x&+0&&&&\end{array}

Il grado del polinomio resto è maggiore di quello del polinomio divisore, pertanto siamo costretti a ripetere il ragionamento precedente e a continuare la divisione.

Dividiamo -6x^5 per -6x^3 così da ricavare il secondo termine del quoziente

(-6x^5):(-6x^3)=x^{2}

Riportiamolo nella tabella

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&+x^2&&\\ +24x^6&+0x^5&+0x^4&+4x^3&&&&&&&\\ \cline{1-7}//&-6x^5&+0x^4&+4x^3&-x^2&-x&+0&&&&\end{array}

dopodiché lo moltiplichiamo per ciascun termine del divisore e riportiamo i risultati, cambiati di segno, sotto il resto parziale

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&+x^2&&\\ +24x^6&+0x^5&+0x^4&+4x^3&&&&&&&\\ \cline{1-7}//&-6x^5&+0x^4&+4x^3&-x^2&-x&+0&&&&\\&&&&&&&&&&\\ &-6x^5&+0x^4&+0x^3&+x^2&&&&&&\\ \cline{2-7}&&&&&&&&&&\end{array}

Sommiamo i termini del resto parziale per quelli ottenuti e incolonniamo i risultati sotto la linea di separazione

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&+x^2&&\\ +24x^6&+0x^5&+0x^4&+4x^3&&&&&&&\\ \cline{1-7}//&-6x^5&+0x^4&+4x^3&-x^2&-x&+0&&&&\\&&&&&&&&&&\\ &-6x^5&+0x^4&+0x^3&+x^2&&&&&&\\ \cline{2-7}&//&//&4x^3&+0x^2&-x&+0&&&&\end{array}

Poiché il resto ha lo stesso grado del divisore, l'algoritmo della divisione non è terminato, purtroppo. Calcoliamo il terzo termine del quoziente dividendo 4x^3 per -6x^3

4x^3:(-6x^3)=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}

e riportiamo il risultato nella tabella

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&+x^2&-\dfrac{2}{3}&\\ +24x^6&+0x^5&+0x^4&+4x^3&&&&&&&\\ \cline{1-7}//&-6x^5&+0x^4&+4x^3&-x^2&-x&+0&&&&\\&&&&&&&&&&\\ &-6x^5&+0x^4&+0x^3&+x^2&&&&&&\\ \cline{2-7}&//&//&4x^3&+0x^2&-x&+0&&&&\end{array}

Moltiplichiamo -\frac{2}{3} per ciascun termine del dividendo e riportiamo i prodotti cambiati di segno sotto il resto parziale

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&+x^2&-\dfrac{2}{3}&\\ +24x^6&+0x^5&+0x^4&+4x^3&&&&&&&\\ \cline{1-7}//&-6x^5&+0x^4&+4x^3&-x^2&-x&+0&&&&\\&&&&&&&&&&\\ &-6x^5&+0x^4&+0x^3&+x^2&&&&&&\\ \cline{2-7}&//&//&4x^3&+0x^2&-x&+0&&&& \\&&&&&&&&&&\\ &&&-4x^3&+0x^2&+0x&-\dfrac{2}{3}\\ \cline{4-7}&&&&&&&&&&\end{array}

Tiriamo le somme, riportandole sotto la linea di separazione

\begin{array}{ccccccc|cccc}-24x^6&-6x^5&+0x^4&+0x^3&-x^2&-x&+0&-6x^3&+0x^2&+0x&-1\\ \cline{8-11}&&&&&&&4x^3&+x^2&-\dfrac{2}{3}&\\ +24x^6&+0x^5&+0x^4&+4x^3&&&&&&&\\ \cline{1-7}//&-6x^5&+0x^4&+4x^3&-x^2&-x&+0&&&&\\&&&&&&&&&&\\ &-6x^5&+0x^4&+0x^3&+x^2&&&&&&\\ \cline{2-7}&//&//&4x^3&+0x^2&-x&+0&&&& \\&&&&&&&&&&\\ &&&-4x^3&+0x^2&+0x&-\dfrac{2}{3}\\ \cline{4-7}&&&//&//&-x&-\dfrac{2}{3}&&&&\end{array}

L'algoritmo della divisione è giunto al termine perché il resto ottenuto ha grado inferiore rispetto al divisore e, finalmente, dall'analisi della tabella ricaviamo sia il polinomio quoziente che il polinomio resto.

\\ Q(x)=4x^3+x^2-\frac{2}{3} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ R(x)=-x-\frac{2}{3}

Ora che disponiamo di questi polinomi, possiamo controllare la correttezza dei calcoli, verificando l'uguaglianza:

Q(x)D(x)+R(x)=N(x)

In altre parole, dobbiamo verificare che il prodotto tra il quoziente e il divisore, cui va aggiunto il resto, sia uguale al dividendo.

\left(4x^3+x^2-\frac{2}{3}\right)(-6x^3-1)+\left(-x-\frac{2}{3}\right)=

Calcoliamo il prodotto tra i polinomi, sfruttando la regola dei segni:

=-24x^6-4x^3-6x^5-x^2+4x^3+\frac{2}{3}-x-\frac{2}{3}=

e infine effettuiamo le ultime operazioni tra i monomi

=-24x^6-6x^5-x^2-x=N(x)

Poiché il polinomio ottenuto coincide con il polinomio dividendo, possiamo concludere che l'esercizio è corretto!
Ringraziano: ermagnus95
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Os