Esercizio su divisione tra polinomi e regola dei segni

Mi è capitato un esercizio sulla divisione polinomiale caratterizzata dal fatto che sia il polinomio dividendo che il polinomio divisore non sono completi rispetto alla lettera. Mi trovo in serie difficoltà, tant'è che non riesco nemmeno a svolgere la divisione in colonna.

Dopo aver calcolato il quoziente e il resto della divisione tra polinomi



verificare la correttezza dell'esercizio mostrando la validità della seguente relazione



Grazie.

Prima di calcolare il quoziente e il resto della divisione polinomiale



bisogna controllare che il dividendo



e il divisore



siano sia polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti di , sia polinomi completi. In questa circostanza, i polinomi non sono né ordinati né tanto meno completi: si noti infatti che a mancano la potenza quarta, la potenza terza e il termine noto; a mancano la potenza seconda e la potenza di primo grado di .

Per ovviare ai problemi, possiamo tranquillamente ordinare i polinomi e inserire gli zeri al posto delle potenze mancanti e ricavare la forma completa:



Disponiamo i due polinomi nella tabella della divisione e completiamola seguendo l'algoritmo



Per prima cosa dividiamo il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore



e riportiamo il risultato sotto il divisore



Moltiplichiamo per ciascun termine del divisore e incolonniamo i prodotti, cambiati di segno, sotto il dividendo



A questo punto addizioniamo i monomi e riportiamo i risultati al di sotto della linea di separazione



Il grado del polinomio resto è maggiore di quello del polinomio divisore, pertanto siamo costretti a ripetere il ragionamento precedente e a continuare la divisione.

Dividiamo per così da ricavare il secondo termine del quoziente



Riportiamolo nella tabella



dopodiché lo moltiplichiamo per ciascun termine del divisore e riportiamo i risultati, cambiati di segno, sotto il resto parziale



Sommiamo i termini del resto parziale per quelli ottenuti e incolonniamo i risultati sotto la linea di separazione



Poiché il resto ha lo stesso grado del divisore, l'algoritmo della divisione non è terminato, purtroppo. Calcoliamo il terzo termine del quoziente dividendo per



e riportiamo il risultato nella tabella



Moltiplichiamo per ciascun termine del dividendo e riportiamo i prodotti cambiati di segno sotto il resto parziale



Tiriamo le somme, riportandole sotto la linea di separazione



L'algoritmo della divisione è giunto al termine perché il resto ottenuto ha grado inferiore rispetto al divisore e, finalmente, dall'analisi della tabella ricaviamo sia il polinomio quoziente che il polinomio resto.



Ora che disponiamo di questi polinomi, possiamo controllare la correttezza dei calcoli, verificando l'uguaglianza:



In altre parole, dobbiamo verificare che il prodotto tra il quoziente e il divisore, cui va aggiunto il resto, sia uguale al dividendo.



Calcoliamo il prodotto tra i polinomi, sfruttando la regola dei segni:



e infine effettuiamo le ultime operazioni tra i monomi



Poiché il polinomio ottenuto coincide con il polinomio dividendo, possiamo concludere che l'esercizio è corretto!