Risolvere un'equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno

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Risolvere un'equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno #73330

avt
ermagnus95
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno. Nonostante il mio professore abbia spiegato la strategia standard, i calcoli diventano pressoché impossibili, per questo chiedo il vostro aiuto.

Risolvere la seguente equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno

2sin(x)cos(x)-sin^2(x) = cos^2(x)

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Risolvere un'equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno #73335

avt
Ifrit
Amministratore
Sebbene

2sin(x)cos(x)-sin^2(x) = cos^2(x)

sia un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno e sebbene esista una precisa strategia risolutiva, in questo caso è sufficiente trasportare -sin^2(x) al secondo membro

2sin(x)cos(x) = cos^2(x)+sin^2(x)

e utilizzare la relazione fondamentale della goniometria grazie alla quale l'equazione diventa

2sin(x)cos(x) = 1

A questo punto interviene la formula di duplicazione del seno che garantisce l'uguaglianza

2sin(x)cos(x) = sin(2x) per ogni x∈R

mediante la quale l'equazione diventa

sin(2x) = 1

Per ricavarne le soluzioni è sufficiente tenere a mente che il seno di un angolo è pari a 1 se l'angolo vale

(π)/(2)+2kπ

dove k è un qualsiasi numero intero. Pertanto dobbiamo impostare e risolvere l'equazione

2x = (π)/(2)+2kπ → x = (π)/(4)+kπ

con k∈Z.

In conclusione, le soluzioni dell'equazione

2sin(x)cos(x)-sin^2(x) = cos^2(x)

sono

x = (π)/(4)+kπ con k∈Z

Abbiamo finito.
Ringraziano: ermagnus95
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Os