Risolvere un'equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Risolvere un'equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno #73330

avt
ermagnus95
Frattale
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno. Nonostante il mio professore abbia spiegato la strategia standard, i calcoli diventano pressoché impossibili, per questo chiedo il vostro aiuto.

Risolvere la seguente equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno

2\sin(x)\cos(x)-\sin^2(x)=\cos^2(x)

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Risolvere un'equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno #73335

avt
Ifrit
Amministratore
Sebbene

2\sin(x)\cos(x)-\sin^2(x)=\cos^2(x)

sia un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno e sebbene esista una precisa strategia risolutiva, in questo caso è sufficiente trasportare -\sin^2(x) al secondo membro

2\sin(x)\cos(x)=\cos^2(x)+\sin^2(x)

e utilizzare la relazione fondamentale della goniometria grazie alla quale l'equazione diventa

2\sin(x)\cos(x)=1

A questo punto interviene la formula di duplicazione del seno che garantisce l'uguaglianza

2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

mediante la quale l'equazione diventa

\sin(2x)=1

Per ricavarne le soluzioni è sufficiente tenere a mente che il seno di un angolo è pari a 1 se l'angolo vale

\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero. Pertanto dobbiamo impostare e risolvere l'equazione

2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{4}+k\pi

con k\in\mathbb{Z}.

In conclusione, le soluzioni dell'equazione

2\sin(x)\cos(x)-\sin^2(x)=\cos^2(x)

sono

x=\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Abbiamo finito.
Ringraziano: ermagnus95
  • Pagina:
  • 1
Os