Equazione goniometrica di secondo grado nel coseno

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Equazione goniometrica di secondo grado nel coseno #73329

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica riconducibile a una o a più equazioni elementari. Ho tentato di usare tutte le formule che conosco, ma non ho capito come procedere. Spero possiate aiutarmi.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

2\cos^2(x)-\cos(x)=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, CarFaby
 
 

Equazione goniometrica di secondo grado nel coseno #73382

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

2\cos^2(x)-\cos(x)=0

riconducendola a equazioni elementari. In questa circostanza, possiamo raccogliere totalmente il coseno di x

\cos(x)\left(2\cos(x)-1\right)=0

e sfruttare in seguito la legge di annullamento del prodotto, la quale stabilisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei due fattori che lo compongono è zero. Questa regola consente di scrivere le seguenti equazioni in coseno:

\cos(x)=0 \ \ \ \vee \ \ \ 2\cos(x)-1=0

dove \vee è il simbolo matematico che identifica il connettivo logico "or".

Analizziamole separatamente, partendo dalla prima:

\cos(x)=0

Essa è un'equazione goniometrica elementare che si risolve ricordando che il coseno di un angolo è zero nel momento in cui l'angolo differisce da \frac{\pi}{2} di un numero intero di angoli piatti, ossia se:

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Occupiamoci della seconda equazione, svolgendo i passaggi algebrici necessari per esprimerla nella forma canonica:

2\cos(x)-1=0 \ \ \ \to \ \ \ \cos(x)=\frac{1}{2}

Aiutandoci con la circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli del coseno (se necessaria), scopriamo che l'equazione è soddisfatta dalle seguenti famiglie di valori:

x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Alla luce di ciò, possiamo concludere che l'equazione goniometrica

\cos(x)\left(2\cos(x)-1\right)=0

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni:

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi

dove k è un numero intero.
Ringraziano: ermagnus95
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Os