Equazione irrazionale con il metodo grafico

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Equazione irrazionale con il metodo grafico #73289

avt
Berkila
Cerchio
Mi è capitata un'equazione irrazionale che si riconduce a un'equazione di quarto grado che non so risolvere. Ho tentato diverse strategie, tutte quelle che conoscono in realtà, tranne una: il metodo grafico. A conti fatti, non sono in grado di rappresentare le funzioni che intervengono nell'equazione.

Risolvere la seguente equazione irrazionale, avvalendosi del metodo grafico per le equazioni se il caso lo richiede:

x^2-\sqrt{x+2}=0

Grazie mille.
 
 

Equazione irrazionale con il metodo grafico #73297

avt
Galois
Coamministratore
Dal punto di vista puramente teorico, potremmo pensare che l'equazione irrazionale

x^2-\sqrt{x+2}=0

si possa risolvere con il metodo standard che consiste nell'isolare la radice quadrata al primo membro, imporre la condizione di esistenza, quella di concordanza e infine elevare al quadrato i due membri così da sbarazzarci del termine irrazionale. Se però operiamo questi passaggi, otterremmo un'equazione tutt'altro che elementare:

\sqrt{x+2}=x^2 \ \ \ \to \ \ \ x+2=x^4 \ \ \ \to \ \ \ x^4-x-2=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di grado superiore al secondo scomponibile: è infatti sufficiente osservare che x=-1 è soluzione dell'equazione, pertanto

x^4-x-2=0 \ \ \ \to \ \ \ (x+1)(x^3-x^2+x-2)=0

in perfetto accordo con la regola di Ruffini. Sfruttando a dovere la legge di annullamento del prodotto, ricaviamo infine due equazioni.

x+1=0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x^3-x^2+x-2=0

La prima

x+1=0

è di facile risoluzione e fornisce la soluzione x=-1. La seconda non si risolve in maniera elementare e sebbene, esista la formula risolutiva di Cardano per le equazioni di terzo grado, è opportuno non metterla in atto data la sua complessità. Procediamo quindi con il metodo grafico che consiste nell'esprimere l'equazione nella forma

f(x)=g(x)

dove f(x)\ \mbox{e}\  g(x) sono espressioni dipendenti da x e di facile rappresentazione. Una volta tracciati i loro grafici sul medesimo piano cartesiano, individuiamo gli eventuali punti di intersezione le cui ascisse rappresentano le soluzioni dell'equazione data.

In questa occasione, l'equazione

x^2-\sqrt{x+2}=0

può essere espressa in modo equivalente nella forma

x^2=\sqrt{x+2}

Osserviamo che dal punto di vista puramente algebrico, essa rappresenta la risolvente del sistema non lineare tra le equazioni y=x^2\ \mbox{e} \ y=\sqrt{x+2}

\begin{cases}y=x^2 \\ \\ y=\sqrt{x+2}\end{cases}

Le funzioni da rappresentare sono quindi

y=x^2\ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=\sqrt{x+2}

La prima individua una parabola convessa di vertice nell'origine degli assi. Il grafico della funzione

y=\sqrt{x+2}

può essere ricavato agilmente se si conoscono le regole relative al grafico intuitivo di funzioni: in particolare è sufficiente notare che viene sommato 2 alla variabile indipendente x, di conseguenza basta traslare di due unità verso sinistra il grafico della radice quadrata di x.

Se rappresentiamo le due funzione nello stesso sistema cartesiano, ricaviamo il seguente grafico

Esercizi equazioni non risolvibili algebricamente I

dal quale si deduce che le due curve si intersecano in due punti A(x_A, y_A)\ \mbox{e} \ B(x_B, y_B). Le ascisse di tali punti rappresentano le soluzioni dell'equazione data. Purtroppo non conosciamo i valori esatti di x_A\ \mbox{e} \ x_B: dobbiamo necessariamente accontentarci di loro approssimazioni.

x_A\simeq -1 \ \ \ x_B\simeq 1.3

Nota: se osserviamo bene, x_A è proprio uguale a -1, e a riprova di ciò è sufficiente sostituire x con -1 nell'equazione e osservare che tale valore è soluzione.

Se x=-1, l'equazione diventa

(-1)^2=\sqrt{(-1)+2}\ \ \ \to \ \ \ 1=1

deduciamo pertanto che x=-1 è soluzione (esatta). Per quanto riguarda x_B nulla si può dire con certezza. In conclusione, l'equazione ammette due soluzioni

x=x_A= -1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x=x_B\simeq 1.3

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os