Equazione goniometrica di secondo grado completa

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Equazione goniometrica di secondo grado completa #73255

avt
FAQ
Punto
Mi è capitata un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno che non riesco proprio a risolvere. Ho cercato di seguire i suggerimenti del professore ma i risultati che ottengo non coincidono con quelli proposti.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica di secondo grado

3\sin^2(x)+\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=2

Grazie.
Ringraziano: Omega, Ifrit
 
 

Equazione goniometrica di secondo grado completa #73264

avt
Ifrit
Ambasciatore
Esistono essenzialmente due diverse tecniche per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado espresse in termini di seno e coseno: il primo metodo prevede di ricondurci a un'equazione goniometrica omogenea di secondo grado avvalendoci della relazione fondamentale della goniometria, mentre il secondo consiste nell'applicare le formule di duplicazione del seno e del coseno con le quali possiamo trasformare l'equazione data in un'equazione goniometrica lineare. Non rimaniamo troppo sul teorico e vediamo come procedere in entrambi i casi.

Primo metodo

Consideriamo l'equazione

3\sin^2(x)+\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=2

Essa è un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno, però non è omogenea, infatti al secondo membro compare un 2. Per ricondurci a un'equazione omogenea, possiamo utilizzare l'identità fondamentale

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

grazie alla quale siamo in grado di esprimere 2 in termini dei quadrati di seno e coseno, infatti se moltiplichiamo per 2 a destra e a sinistra, l'identità diventa

2=2\sin^2(x)+2\cos^2(x)\ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

Rimpiazziamo 2 al secondo membro con 2\sin^2(x)+2\cos(x)

3\sin^2(x)+\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=2\sin^2(x)+2\cos^2(x)

trasportiamo tutti i termini al primo

3\sin^2(x)+\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)-2\sin^2(x)-2\cos^2(x)=0

e infine sommiamo i termini simili

\sin^2(x)-\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=0

Ora che l'equazione è espressa in forma normale, divideremo membro a membro per \cos^2(x) così da ottenere un'equazione di secondo grado espressa in termini di tangente. Prima di procedere dobbiamo però controllare se i valori che annullano il coseno siano soluzioni oppure no.

In accordo con la relazione fondamentale della goniometria, se \cos^2(x)=0 allora necessariamente

\sin^2(x)=1 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)=\pm 1

Se rimpiazziamo questi valori nell'equazione, ricaviamo un'equazione senza incognite impossibile, infatti:

1-0+2(\pm 1)\cdot 0=0\ \ \ \to \ \ \ 1=0

di conseguenza i valori che annullano il coseno, ossia

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

non sono soluzioni dell'equazione data.

Se \cos^2(x)\ne 0, possiamo dividere i due membri dell'equazione

\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}=0

e dopo le opportune semplificazioni ricaviamo

\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-1-\frac{2\sin(x)}{\cos(x)}=0

Intervieni adesso la definizione di tangente

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \ \ \ \mbox{con} \ x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi

mediante la quale l'equazione diventa

\tan^2(x)+2\tan(x)-1=0

Per semplificare le notazioni, operiamo la sostituzione

t=\tan(x) \ \ \ \to \ \ \ t^2=\tan^2(x)

così che l'equazione si traduca in

t^2+2t-1=0

Essa è un'equazione di secondo grado nell'incognita t con coefficienti

a=1 \ \ \ , \ \ \  b=2 \ \ \ , \ \ \ c=-1

Proprio perché il coefficiente di t è divisibile per 2, possiamo pensar bene di applicare la formula del Delta quarti

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-a c=1-1\cdot(-1)=2

e ottenere le soluzioni con la relazione

t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=-1\pm\sqrt{2}

In definitiva, l'equazione

t^2+2t-1=0

ammette due soluzioni distinte

t=-1-\sqrt{2} \ \ \ , \ \  \ t=-1+\sqrt{2}

Poiché t=\tan(x), le relazioni precedenti si traducono in due equazioni goniometriche elementari

\tan(x)=-1-\sqrt{2}\ \ \ , \ \ \ \tan(x)=-1+\sqrt{2}

Risolviamo la prima

\tan(x)=-1-\sqrt{2}

usando la tabella dei valori noti della tangente e tenendo conto della sua periodicità (per approfondire periodo di funzioni goniometriche) grazie alle quali ricaviamo la famiglia di soluzioni

x=\frac{5\pi}{8}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Per quanto concerne la seconda equazione

\tan(x)=-1+\sqrt{2}

procedendo allo stesso modo, ricaviamo

x=\frac{\pi}{8}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Traiamo le conclusioni: le soluzioni dell'equazione

3\sin^2(x)+\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=2

sono

x=\frac{\pi}{8}+k\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{5\pi}{8}+k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Osservazione: se utilizziamo la circonferenza goniometrica, ci accorgeremmo che le due famiglie di soluzioni sono esprimibili sotto un'unica famiglia come

x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Sia chiaro che questo è un passaggio in più, non necessario ai fini dell'esercizio.



Secondo metodo

Un'altra strategia per risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado

3\sin^2(x)+\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=2

prevede l'utilizzo delle formule di duplicazione

\\ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\ \ \ \mbox{per ogni}\  x\in\mathbb{R} \\ \\ \cos(2x)=1-2\sin^2(x) \ \ \ , \ \ \ \cos(2x)=2\cos^2(x)-1

Dalla seconda e dalla terza relazione seguono le seguenti identità

\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \ \ \ , \  \ \ \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}

che se rimpiazzate, l'equazione

3\overbrace{\sin^2(x)}^{=\frac{1-\cos(2x)}{2}}+\overbrace{\cos^2(x)}^{\frac{1+\cos(2x)}{2}}+\overbrace{2\sin(x)\cos(x)}^{\sin(2x)}=2

diventa

3\cdot\frac{1-\cos(2x)}{2}+\frac{1+\cos(2x)}{2}+\sin(2x)=2

Se moltiplichiamo i due membri per 2, ricaviamo

3(1-\cos(2x))+1+\cos(2x)+2\sin(2x)=4

da cui

\\ 3-3\cos(2x)+1+\cos(2x)+2\sin(2x)=4 \\ \\ 2\sin(2x)-2\cos(2x)=0\ \ \ \to \ \ \ \sin(2x)-\cos(2x)=0

Siamo stati in grado di ricondurci a un'equazione goniometrica lineare omogenea in seno di 2x e coseno di 2x che risolviamo isolando il seno al primo membro

\sin(2x)=\cos(2x)

A questo punto controlliamo se i valori che annullano \cos(2x) sono soluzioni o meno dell'equazione. In virtù della relazione fondamentale della goniometria, se \cos(2x)=0, allora:

\sin(2x)=-1 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \sin(2x)=1

pertanto l'equazione diventa

-1=0 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ 1=0

In entrambi i casi otteniamo un'equazione priva di incognite impossibile: ciò vuol dire che i valori che annullano \cos(2x) non possono essere soluzioni dell'equazione.

Se \cos(2x)\ne 0, siamo autorizzati a dividere i due membri per \cos(2x)

\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}=1

e in virtù della definizione di tangente, tale relazione si traduce nell'equazione goniometrica elementare

\tan(2x)=1

da cui

2x=\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Dividiamo i due membri per due così da ricavare la famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

In definitiva, l'equazione

3\sin^2(x)+\cos^2(x)+2\sin(x)\cos(x)=2

è soddisfatta dalla famiglia:

x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: ermagnus95
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