Equazione trigonometrica di secondo grado con termine misto

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Equazione trigonometrica di secondo grado con termine misto #73247

avt
ermagnus95
Frattale
Ho iniziato da poco a risolvere le equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno, ma già ho seri problemi nella risoluzione degli esercizi, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica di secondo grado

2\sqrt{2}\sin(x)\cos(x)-1=0

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica di secondo grado con termine misto #73249

avt
Galois
Coamministratore
Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado

2\sqrt{2}\sin(x)\cos(x)-1=0

osservando preliminarmente che i termini quadratici puri

\sin^2(x)\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \cos^2(x)

non compaiono nell'equazione (i loro coefficienti sono nulli), pertanto ci troviamo di fronte a un particolare caso di equazione di secondo grado non omogenea espressa in termini di seno e coseno. La strategia risolutiva prevede di sfruttare a dovere la formula di duplicazione

2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

grazie alla quale otteniamo la relazione

\sqrt{2}\sin(2x)-1=0

Essa è chiaramente un'equazione goniometrica elementare che risolviamo isolando il seno al primo membro

\sin(2x)=\frac{1}{\sqrt{2}}

e tenendo a mente che il seno di un angolo vale \frac{1}{\sqrt{2}} nel momento in cui l'angolo assume i seguenti valori

\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ \frac{3\pi}{4}+2k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero. Questa semplice osservazione ci permette dii impostare le seguenti equazioni di primo grado nell'incognita x

\\ 2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{8}+k\pi\\ \\ \\ 2x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{3\pi}{8}+k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Possiamo pertanto concludere che l'equazione

2\sqrt{2}\sin(x)\cos(x)-1=0

è soddisfatta dalle famiglie di valori

\\ x=\frac{\pi}{8}+k\pi \\ \\ \\ x=\frac{3\pi}{8}+k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: ermagnus95
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