Equazione trigonometrica di secondo grado con termine misto

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Equazione trigonometrica di secondo grado con termine misto #73247

avt
ermagnus95
Cerchio
Ho iniziato da poco a risolvere le equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno, ma già ho seri problemi nella risoluzione degli esercizi, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica di secondo grado

2√(2)sin(x)cos(x)-1 = 0

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica di secondo grado con termine misto #73249

avt
Galois
Amministratore
Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione goniometrica di secondo grado

2√(2)sin(x)cos(x)-1 = 0

osservando preliminarmente che i termini quadratici puri

sin^2(x) e cos^2(x)

non compaiono nell'equazione (i loro coefficienti sono nulli), pertanto ci troviamo di fronte a un particolare caso di equazione di secondo grado non omogenea espressa in termini di seno e coseno. La strategia risolutiva prevede di sfruttare a dovere la formula di duplicazione

2sin(x)cos(x) = sin(2x) per ogni x∈R

grazie alla quale otteniamo la relazione

√(2)sin(2x)-1 = 0

Essa è chiaramente un'equazione goniometrica elementare che risolviamo isolando il seno al primo membro

sin(2x) = (1)/(√(2))

e tenendo a mente che il seno di un angolo vale (1)/(√(2)) nel momento in cui l'angolo assume i seguenti valori

(π)/(4)+2kπ , (3π)/(4)+2kπ

dove k è un qualsiasi numero intero. Questa semplice osservazione ci permette dii impostare le seguenti equazioni di primo grado nell'incognita x

2x = (π)/(4)+2kπ → x = (π)/(8)+kπ ; 2x = (3π)/(4)+2kπ → x = (3π)/(8)+kπ

al variare di k∈Z.

Possiamo pertanto concludere che l'equazione

2√(2)sin(x)cos(x)-1 = 0

è soddisfatta dalle famiglie di valori

x = (π)/(8)+kπ ; x = (3π)/(8)+kπ

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: ermagnus95
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Os