Esercizio: equazione di grado 3 per scomposizione

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Esercizio: equazione di grado 3 per scomposizione #73225

avt
FreddieCocco
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione di terzo grado che a detta del testo è un'equazione scomponibile. La mia difficoltà risiede proprio nel capire quale tecnica di scomposizione da applicare.

Risolvere nell'insieme dei numeri reali la seguente equazione

4x^3-x^2-4x+1=0

Grazie.
 
 

Esercizio: equazione di grado 3 per scomposizione #73226

avt
Galois
Coamministratore
Consideriamo l'equazione

4x^3-x^2-4x+1=0

Il nostro obiettivo consiste nel ricavare le sue radici reali usando le opportune tecniche di scomposizione. Per prima cosa, notiamo che il polinomio al primo membro è formato da quattro termini, di conseguenza potrebbero funzionare sia la tecnica del raccoglimento parziale, sia la regola di Ruffini. È opportuno tenere a mente però che la tecnica di scomposizione di Ruffini deve rappresentare la cosiddetta "ultima spiaggia", ecco perché tenteremo di scomporre il polinomio al primo membro mediante raccoglimento.

Raccogliamo x^2 tra i primi due addendi e un segno meno negli ultimi due, così facendo l'equazione diventa

x^2(4x-1)-(4x-1)=0

A questo punto, mettiamo in evidenza il fattore comune 4x-1

(4x-1)(x^2-1)=0

e infine scomponiamo la differenza di quadrati x^2-1 come prodotto di una somma per una differenza

(4x-1)(x-1)(x+1)=0

Ora che abbiamo scomposto il polinomio, utilizziamo la legge di annullamento del prodotto la quale garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se è nullo almeno uno dei fattori che lo compongono e ci permette quindi di considerare tre equazioni di primo grado

\\ 4x-1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{1}{4} \\ \\ x-1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=1 \\ \\ x+1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-1

Deduciamo quindi che l'equazione ammette tre soluzioni

x_1=-1 \ \ \ , \ \ \ x_2=\frac{1}{4} \ \ \ , \ \ \ x_3=1

e il suo insieme soluzione è:

S=\left\{-1,\ \frac{1}{4},\ 1\right\}

L'esercizio è risolto!
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