Equazione con radice ed esponenziale con metodo grafico

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Equazione con radice ed esponenziale con metodo grafico #73178

avt
Iusbe
Templare
Dovrei avvalermi del metodo grafico per mostrare che un'equazione con radice e esponenziale non ammetta soluzioni. Ho studiato davvero bene la teoria, però c'è un problema di natura tecnica: non so rappresentare le funzioni coinvolte senza effettuare studi di funzioni. Esiste sicuramente un trucco che mi consenta di eludere la montagna di calcoli, purtroppo non mi viene in mente nulla di buono.

Utilizzare il metodo grafico per mostrare che la seguente equazione trascendente non ammette soluzioni.

\sqrt{\frac{1}{16}-x^2}-e^{x}=0

Grazie mille.
Ringraziano: Omega, Ifrit, Galois
 
 

Equazione con radice ed esponenziale con metodo grafico #73179

avt
Galois
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel dimostrare che l'equazione trascendente

\sqrt{\frac{1}{16}-x^2}-e^{x}=0

non ammette soluzioni avvalendoci del metodo grafico. Prima di attaccare il problema, bisogna effettuare alcune considerazioni:

- l'equazione non è risolvibile elementarmente, infatti non può essere ricondotta ad alcuna tipologia di equazioni di cui conosciamo il metodo risolutivo;

- affinché la radice quadrata abbia senso, dobbiamo imporre la condizione di esistenza che la caratterizza. In termini più espliciti dobbiamo richiedere che il radicando sia maggiore o al più uguale a zero, ottenendo così la disequazione di secondo grado:

C.E.:\ \frac{1}{16}-x^2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x^2\le\frac{1}{16}

da cui

-\frac{1}{4}\le x\le\frac{1}{4}

È importante sottolineare che all'infuori di tale insieme, l'equazione perde di significato, pertanto le eventuali soluzioni devono necessariamente soddisfare tale vincolo.

Procediamo con lo svolgimento proponendoci come obiettivo quello di esprimere l'equazione data nella forma

f(x)=g(x)

dove f(x)\ \mbox{e} \ g(x) sono due funzioni di cui è facile tracciare il grafico. In questa circostanza, possiamo esprimere l'equazione nella forma

\sqrt{\frac{1}{16}-x^2}=e^{x}

dunque siamo autorizzati a considerare le funzioni

y=\sqrt{\frac{1}{16}-x^2} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y=e^{x}

Se da un lato il grafico della funzione esponenziale y=e^{x} è noto, quello della funzione irrazionale

y=\sqrt{\frac{1}{16}-x^2}

non è immediato, però possiamo avvalerci della geometria analitica per evitare lo studio di funzione. Osserviamo prima di tutto che sotto il vincolo

-\frac{1}{4}\le x\le \frac{1}{4}

la radice quadrata esiste ed è non negativa pertanto anche la variabile y deve esserlo altrimenti la relazione precedente sarebbe impossibile: ricaviamo quindi il vincolo su y

y\ge 0

Elevando inoltre al quadrato i due membri otteniamo l'equazione

y^2=\frac{1}{16}-x^2

che possiamo rivedere come

\Gamma: \ x^2+y^2=\frac{1}{16}

Quest'ultima non è altro che l'equazione della circonferenza di centro nell'origine degli assi coordinati e di raggio r=\frac{1}{4}.

Tenendo conto del vincolo y\ge 0, possiamo affermare che il grafico della funzione irrazionale coincide con l'insieme dei punti della circonferenza \Gamma che giacciono nel primo e secondo quadrante (semicirconferenza).

Rappresentate le curve nel medesimo piano cartesiano, ricaviamo il seguente grafico

Esercizi equazioni non risolvibili algebricamente II

Poiché le due curve non si incontrano in alcun punto - non vi sono cioè punti di intersezione - l'equazione

\sqrt{\frac{1}{16}-x^2}-e^{x}=0

non ammette soluzioni ed è dunque impossibile. Possiamo concludere quindi che l'insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto.
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os