Equazione di terzo grado scomponibile #73167

avt
diego1994
Punto
Mi è capitata un'equazione di terzo grado che sinceramente non so risolvere. In teoria dovrei scomporre il polinomio con i prodotti notevoli, per non so quale applicare.

Risolvere in \mathbb{R} la seguente equazione di terzo grado

x^3+3x^2+3x+1=0

Grazie.
 
 

Equazione di terzo grado scomponibile #73168

avt
Pi Greco
Kraken
Osserviamo sin da subito che

x^3+3x^2+3x+1=0

un'equazione scomponibile, ossia un'equazione che può essere risolta applicando le regole di scomposizione dei polinomi e la legge di annullamento del prodotto.

Lo si deduce dal fatto che il polinomio di terzo grado

x^3+3x^2+3x+1

è in buona sostanza un cubo di binomio e più precisamente

x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3

Per questo motivo, l'equazione di partenza si riscrive nella forma

(x+1)^3=0

Questa si risolve molto facilmente ricordando che la nullità di una potenza si verifica se e solo se è nulla la sua base, pertanto dobbiamo richiedere che x+1 sia uguale a zero, ricavando così l'equazione di primo grado

x+1=0\ \ \ \to \ \ \ x=-1

In definitiva, l'equazione di partenza ammette un'unica soluzione (di molteplicità algebrica 3) e il suo insieme soluzione è:

S=\{-1\}

Abbiamo terminato.
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Os