Chiarimenti sulle disequazioni con modulo

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Chiarimenti sulle disequazioni con modulo #7307

avt
Matilde91
Cerchio
ciao sono matilde91 l'altro giorno avevo chiesto delle spiegazioni riguardo alle diequazioni con il valore assoluto. ora propongo un esercizio per togliermi ogni dubbio soprattutto per quanto riguarda la soluzione finale perchè con il libro ho un po di confusione.
l'esercizio è: modulo di (3x-2) </uguale 1.

facendo i calcoli ho trovato come soluzioni

x </uguale 1
e
x>/uguale 1/3

quello che non capisco è se devo determinare una soluzione comune ad entrambe le disequazioni( dato che un è un sistema) oppure ogni disequazione è a se stante e quindi ci sono 2soluzioni differenti.non so se mi sono spiegata!emt
 
 

Chiarimenti sulle disequazioni con modulo #7308

avt
frank094
Maestro
Ciao Matilde91, quando ti trovi di fronte ad una disequazione del tipo

|f(x)| \leq k

per la definizione di modulo ti trovi a risolvere

- k \leq f(x) \leq k

che equivale a risolvere il sistema ( che quindi richiede l'intersezione tra le soluzioni ) di disequazioni

\begin{Bmatrix}3x - 2 \geq - 1 \\ 3x - 2 \leq 1 \end{matrix}

\begin{Bmatrix}x \geq \frac{1}{3} \\ x \leq 1 \end{matrix}

L'intersezione tra queste due soluzioni torna

S: \frac{1}{3} \leq x \leq 1

E' tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Chiarimenti sulle disequazioni con modulo #7309

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Matilde91

La disequazione |f(x)|\le k\quad k\ge 0 è equivalente al sistema:

\begin{cases}f(x)\le k\\ f(x)\ge -k\end{cases}

Dovrai risolvere le disequazioni, ottenendo due insiemi soluzioni S_1 per la prima disequazione, S_2. La soluzione del sistema e quindi della disequazione è data dall'intersezione degli insiemi S_1,S_2.

Vediamo l'esempio:

|3x-2|\le 1

è equivalente al sistema:

\begin{cases}3x-2\le 1\\ 3x-2\ge -1\end{cases}

\begin{cases}3x\le 3\\ 3x\ge 1\end{cases}

\begin{cases}x\le 1\\ x\ge \frac{1}{3}\end{cases}

Intersecando le due soluzioni, avrai che la disequazione di partenza è soddisfatta per

\frac{1}{3}\le x\le 1
Ringraziano: Omega, frank094

Chiarimenti sulle disequazioni con modulo #7312

avt
Matilde91
Cerchio
si ora è chiaro,sono distratta e ovviamente non ho considerato che la disequazione di partenza mi chiedeva di verificare per quali valori fosse minore/uguale a 1 e non maggiore.per abitudine io cercavo gli intervalli dove la disequaizone fosse positiva quindi non mi trovavo con la soluzione finale.Grazie e scusate emt

Chiarimenti sulle disequazioni con modulo #7316

avt
Matilde91
Cerchio
potreste darmi la soluzione di questa disequazione

modulo di (2 - x/2) < 1/2

grazie mille!emt

Chiarimenti sulle disequazioni con modulo #7320

avt
frank094
Maestro
Soluzione con procedimento o solo il risultato numerico? E la disequazione è questa?

 \left| 2 - \frac{x}{2} \right| < \frac{1}{2}
Ringraziano: Omega

Chiarimenti sulle disequazioni con modulo #7321

avt
Matilde91
Cerchio
si è questa. se non chiedo troppo anche il procedimento se no basta il risultato perchè non lo so!grazie

Chiarimenti sulle disequazioni con modulo #7323

avt
frank094
Maestro
Nessun problema per il procedimento emt ! Ho chiesto solo perché non avevo ben capito cosa intendessi.

\left| 2 - \frac{x}{2} \right| < \frac{1}{2}

Ci troviamo nuovamente di fronte ad una disequazione del tipo

|f(x)| < k \qquad k > 0

perciò la soluzione è data dal sistema equivalente

\begin{Bmatrix} 2 - \frac{x}{2} > - \frac{1}{2} \\ 2 - \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \end{matrix}

Risolviamo le due disequazioni singolarmente ..

2 - \frac{x}{2} > - \frac{1}{2}

Facciamo il minimo comune multiplo ( 2 ) e mandiamo via il denominatore ..

4 - x > - 1

da cui si ottiene

x < 5

Adesso passiamo alla seconda disequazione procedendo con lo stesso identico modo della precedente ..

2 - \frac{x}{2} < \frac{1}{2}

Minimo comune multiplo ..

4 - x < 1

da cui

x > 3

Poiché la soluzione è data dall'intersezione delle singole soluzioni si ha che

S: \begin{Bmatrix} x < 5 \\ x > 3 \end{matrix} \to 3 < x < 5

Tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os