Equazione trigonometrica elementare con arcocoseno

Mi servirebbe una mano per determinare le soluzioni di un'equazione goniometrica con la cotangente. Purtroppo non sono molto avvezzo a questo tipo di equazioni, sebbene sia molto semplice.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica



Grazie.

Consideriamo l'equazione goniometrica



Prima di risolverla, occorre impostare le opportune condizioni di esistenza: affinché la cotangente sia ben posta, richiediamo che il suo argomento sia diverso da , vale a dire:



Per determinare le soluzioni dell'equazione, ci aiuteremo con la circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli della cotangente (se necessaria).

Consideriamo, quindi, un sistema di assi coordinati e rappresentiamo in esso la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1.

Tracciamo, inoltre, la retta di equazione , tangente alla circonferenza in .

Individuiamo su di essa il punto di ascissa e rappresentiamo la retta che lo congiunge all'origine degli assi.

Tale retta forma, con l'asse delle ascisse positive, due angoli che rappresentano le soluzioni dell'equazione riferite all'intervallo .

In questa particolare occasione, la tabella dei valori notevoli non è molto utile, perché non è notevole l'angolo la cui cotangente è . Nulla è perduto, possiamo affidarci all'inversa della cotangente, ossia l'arcocotangente, che ci consente di scrivere i valori:




Essi rappresentano le soluzioni base con cui si ottengono tutte le altre. La cotangente, infatti, è una funzione periodica di periodo , pertanto ci autorizza a scegliere una delle due soluzioni base come rappresentante e a esprimere le altre aggiungendo semplicemente .

A titolo di esempio, se scegliamo come rappresentante, le altre soluzioni saranno:



dove è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.