Equazione trigonometrica elementare con arcocoseno

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Equazione trigonometrica elementare con arcocoseno #730

avt
FAQ
Frattale
Mi servirebbe una mano per determinare le soluzioni di un'equazione goniometrica con la cotangente. Purtroppo non sono molto avvezzo a questo tipo di equazioni, sebbene sia molto semplice.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

\cot(x)=-2

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica elementare con arcocoseno #731

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione goniometrica

\cot(x)=-2

Prima di risolverla, occorre impostare le opportune condizioni di esistenza: affinché la cotangente sia ben posta, richiediamo che il suo argomento sia diverso da k\pi, vale a dire:

C.E. \ : \ x\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Per determinare le soluzioni dell'equazione, ci aiuteremo con la circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli della cotangente (se necessaria).

Consideriamo, quindi, un sistema di assi coordinati OXY e rappresentiamo in esso la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1.

Tracciamo, inoltre, la retta di equazione Y=1, tangente alla circonferenza in (0,1).

Individuiamo su di essa il punto di ascissa -2 e rappresentiamo la retta che lo congiunge all'origine degli assi.

Tale retta forma, con l'asse delle ascisse positive, due angoli che rappresentano le soluzioni dell'equazione riferite all'intervallo 0\le x<2\pi.

In questa particolare occasione, la tabella dei valori notevoli non è molto utile, perché non è notevole l'angolo la cui cotangente è -2. Nulla è perduto, possiamo affidarci all'inversa della cotangente, ossia l'arcocotangente, che ci consente di scrivere i valori:

x=\pi-\mbox{arccot}(2) \ \ \ , \ \ \ x=2\pi-\mbox{arccot}(2)

Esercizi equazioni goniometriche elementari 15

Essi rappresentano le soluzioni base con cui si ottengono tutte le altre. La cotangente, infatti, è una funzione periodica di periodo T=\pi, pertanto ci autorizza a scegliere una delle due soluzioni base come rappresentante e a esprimere le altre aggiungendo semplicemente k\pi.

A titolo di esempio, se scegliamo \pi-\mbox{arccot}(2) come rappresentante, le altre soluzioni saranno:

x=\pi-\mbox{arccot}(2)+k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: CarFaby
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