Equazione trinomia di sesto grado per sostituzione

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Equazione trinomia di sesto grado per sostituzione #72860

avt
CrystalEvo
Punto
Dovrei calcolare le soluzioni di un'equazione fratta in cui compaiono potenze seste e terze di frazioni algebriche. Secondo il testo, è un'equazione trinomia risolvibile con una sostituzione, però non capisco qual è la sostituzione da effettuare, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione trinomia utilizzando un'opportuna sostituzione

((x)/(x-1))^6+19((x)/(x-1))^3-216 = 0

Grazie.
 
 

Equazione trinomia di sesto grado per sostituzione #72862

avt
Ifrit
Amministratore
Prendiamo in considerazione

((x)/(x-1))^6+19((x)/(x-1))^3-216 = 0

e osserviamo che essa è un'equazione fratta proprio perché l'incognita si manifesta anche a denominatore. Poiché è fratta, è necessario imporre le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. In questo caso dobbiamo richiedere che

x-1 ne 0 → x ne 1

pertanto l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalla condizione

C.E. : x ne 1

Notiamo inoltre che la frazione algebrica

(x)/(x-1)

è sia la base della potenza sesta, sia la base della potenza terza: ciò dovrebbe suggerirci la sostituzione da effettuare. Infatti ponendo

t = (x)/(x-1)

l'equazione diventa

t^6+19 t^3-216 = 0

vale a dire un'equazione trinomia nell'incognita t. Per determinarne le soluzioni, abbiamo bisogno di un'ulteriore sostituzione che consenta di ridurla a un'equazione di secondo grado. La sostituzione che fa al caso nostro è s = t^3, infatti se eleviamo al quadrato s e se sfruttiamo le proprietà alla potenza di una potenza, ricaviamo l'uguaglianza

s^2 = (t^3)^3 = t^6

Siamo quindi autorizzati a scrivere l'equazione trinomia nella forma

s^2+19 s-216 = 0

Essa è chiaramente un'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono

a = 1 , b = 19 , c = -216

Calcoliamone il discriminante associato mediante la formula

Δ = b^2-4ac = 19^2-4·1·(-216) = 1225

e poiché è positivo l'equazione in s ammette due soluzioni reali e distinte:

s_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-19±√(1225))/(2) = (-19-35)/(2) = -27 = s_1 ; (-19+35)/(2) = 8 = s_2

Deduciamo quindi che le soluzioni dell'equazione

s^2+19 s-216 = 0

sono

s = -27 , s = 8

A questo punto bisogna procedere a ritroso con le sostituzioni: poiché s = t^3 , le precedenti relazioni si traducono in due equazioni binomie

s = -27 → t^3 = -27 → t = -3 ; s = 8 → t^3 = 8 → t = 2

grazie alle quali otteniamo i valori che assume la variabile ausiliaria t. Manca un ultimo passaggio: poiché

t = (x)/(x-1)

la relazione t = -3 si trasforma nell'equazione fratta di primo grado

(x)/(x-1) = -3

che è ben posta nel momento in cui x ne 1. Procediamo con la risoluzione trasportando tutti i termini a sinistra dell'uguale

(x)/(x-1)+3 = 0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

(x+3(x-1))/(x-1) = 0

Eseguiamo il prodotto al numeratore così da sbarazzarci delle parentesi tonde e una volta sommati i monomi simili, otteniamo:

(x+3x-3)/(x-1) = 0 → (4x-3)/(x-1) = 0

Cancelliamo il denominatore che ha ormai esaurito il suo compito

4x-3 = 0

e risolviamo l'equazione di primo grado isolando l'incognita al primo membro

4x = 3 → x = (3)/(4)

Il valore ottenuto è effettivamente una soluzione dell'equazione di partenza perché rispetta le condizioni di esistenza. Ora dobbiamo occuparci della seconda relazione, t = 2 che diventa

(x)/(x-1) = 2

Per x ne 1, trasportiamo 2 al primo membro

(x)/(x-1)-2 = 0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

(x-2(x-1))/(x-1) = 0

Usiamo la regola dei segni per eseguire la moltiplicazione a numeratore, e sommiamo inoltre i monomi simili

(x-2x+2)/(x-1) = 0 → (-x+2)/(x-1) = 0

Cancelliamo il denominatore e risolviamo l'equazione ottenuta

-x+2 = 0 → -x = -2 → x = 2

Poiché x = 2 soddisfa la condizione di esistenza, possiamo affermare che essa è un'ulteriore soluzione dell'equazione iniziale.

In conclusione, l'equazione

((x)/(x-1))^6+19((x)/(x-1))^3-216 = 0

ammette due soluzioni, x = (3)/(4) e x = 2, di conseguenza l'insieme delle soluzioni è

S = (3)/(4), 2

Abbiamo finito!
Ringraziano: Iusbe, CrystalEvo
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Os