Equazione trinomia di sesto grado per sostituzione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione trinomia di sesto grado per sostituzione #72860

avt
CrystalEvo
Punto
Dovrei calcolare le soluzioni di un'equazione fratta in cui compaiono potenze seste e terze di frazioni algebriche. Secondo il testo, è un'equazione trinomia risolvibile con una sostituzione, però non capisco qual è la sostituzione da effettuare, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione trinomia utilizzando un'opportuna sostituzione

\left(\frac{x}{x-1}\right)^6+19\left(\frac{x}{x-1}\right)^3-216=0

Grazie.
 
 

Equazione trinomia di sesto grado per sostituzione #72862

avt
Ifrit
Ambasciatore
Prendiamo in considerazione

\left(\frac{x}{x-1}\right)^6+19\left(\frac{x}{x-1}\right)^3-216=0

e osserviamo che essa è un'equazione fratta proprio perché l'incognita si manifesta anche a denominatore. Poiché è fratta, è necessario imporre le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero. In questo caso dobbiamo richiedere che

x-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 1

pertanto l'insieme di esistenza delle soluzioni è dettato dalla condizione

C.E. :\ x\ne 1

Notiamo inoltre che la frazione algebrica

\frac{x}{x-1}

è sia la base della potenza sesta, sia la base della potenza terza: ciò dovrebbe suggerirci la sostituzione da effettuare. Infatti ponendo

t=\frac{x}{x-1}

l'equazione diventa

t^6+19 t^3-216=0

vale a dire un'equazione trinomia nell'incognita t. Per determinarne le soluzioni, abbiamo bisogno di un'ulteriore sostituzione che consenta di ridurla a un'equazione di secondo grado. La sostituzione che fa al caso nostro è s=t^3, infatti se eleviamo al quadrato s e se sfruttiamo le proprietà alla potenza di una potenza, ricaviamo l'uguaglianza

s^2=(t^3)^3=t^6

Siamo quindi autorizzati a scrivere l'equazione trinomia nella forma

s^2+19 s-216=0

Essa è chiaramente un'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono

a=1 \ \ \ , \ \ \  b=19 \ \ \ , \ \ \ c=-216

Calcoliamone il discriminante associato mediante la formula

\Delta=b^2-4ac=19^2-4\cdot 1 \cdot (-216)=1225

e poiché è positivo l'equazione in s ammette due soluzioni reali e distinte:

s_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-19\pm\sqrt{1225}}{2}=\begin{cases}\frac{-19-35}{2}=-27=s_1\\ \\ \frac{-19+35}{2}=8=s_2\end{cases}

Deduciamo quindi che le soluzioni dell'equazione

s^2+19 s-216=0

sono

s=-27 \ \ \ , \ \ \ s=8

A questo punto bisogna procedere a ritroso con le sostituzioni: poiché s=t^3 , le precedenti relazioni si traducono in due equazioni binomie

\\ s=-27 \ \ \ \to \ \ \ t^3=-27 \ \ \ \to \ \ \ t=-3 \\ \\ s=8 \ \ \ \to \ \ \ t^3=8 \ \ \ \to \ \ \ t=2

grazie alle quali otteniamo i valori che assume la variabile ausiliaria t. Manca un ultimo passaggio: poiché

t=\frac{x}{x-1}

la relazione t=-3 si trasforma nell'equazione fratta di primo grado

\frac{x}{x-1}=-3

che è ben posta nel momento in cui x\ne 1. Procediamo con la risoluzione trasportando tutti i termini a sinistra dell'uguale

\frac{x}{x-1}+3=0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore

\frac{x+3(x-1)}{x-1}=0

Eseguiamo il prodotto al numeratore così da sbarazzarci delle parentesi tonde e una volta sommati i monomi simili, otteniamo:

\frac{x+3x-3}{x-1}=0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{4x-3}{x-1}=0

Cancelliamo il denominatore che ha ormai esaurito il suo compito

4x-3=0

e risolviamo l'equazione di primo grado isolando l'incognita al primo membro

4x=3 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{3}{4}

Il valore ottenuto è effettivamente una soluzione dell'equazione di partenza perché rispetta le condizioni di esistenza. Ora dobbiamo occuparci della seconda relazione, t=2 che diventa

\frac{x}{x-1}=2

Per x\ne 1, trasportiamo 2 al primo membro

\frac{x}{x-1}-2=0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{x-2(x-1)}{x-1}=0

Usiamo la regola dei segni per eseguire la moltiplicazione a numeratore, e sommiamo inoltre i monomi simili

\frac{x-2x+2}{x-1}=0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{-x+2}{x-1}=0

Cancelliamo il denominatore e risolviamo l'equazione ottenuta

-x+2=0 \ \ \ \to \ \ \ -x=-2 \ \ \ \to \ \ \ x=2

Poiché x=2 soddisfa la condizione di esistenza, possiamo affermare che essa è un'ulteriore soluzione dell'equazione iniziale.

In conclusione, l'equazione

\left(\frac{x}{x-1}\right)^6+19\left(\frac{x}{x-1}\right)^3-216=0

ammette due soluzioni, x=\frac{3}{4} \ \mbox{e} \ x=2, di conseguenza l'insieme delle soluzioni è

S=\left\{\frac{3}{4},\ 2\right\}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Iusbe, CrystalEvo
  • Pagina:
  • 1
Os