Equazione trinomia fratta di grado superiore al secondo

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione trinomia fratta di grado superiore al secondo #72853

avt
francesco9494
Punto
Ho tentato di risolvere un esercizio sulle equazioni trinomie fratte senza però riuscirci. Credo che il mio errore risieda nell'aver sbagliato l'insieme di esistenza delle soluzioni, ecco perché ottengo soluzioni che in realtà non lo sono.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione trinomia fratta, dopo aver imposto le opportune condizioni di esistenza

\frac{x^4-5x^2+4}{x^{10}-33x^5+32}=0

Grazie.
 
 

Equazione trinomia fratta di grado superiore al secondo #72854

avt
Iusbe
Templare
L'esercizio ci chiede di determinare le soluzioni dell'equazione fratta

\frac{x^4-5x^2+4}{x^{10}-33x^5+32}=0

e proprio perché l'incognita compare anche a denominatore, dovremo imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che il denominatore sia diverso da zero, vale a dire

x^{10}-33x^5+32\ne 0

Ci viene quindi imposto di escludere quei numeri reali x che soddisfano l'equazione trinomia

x^{10}-33x^5+32=0

Per calcolarne le soluzioni utilizziamo la sostituzione t=x^5 dalla quale segue che il quadrato di t coincide con x^{10} , infatti la proprietà relativa alla potenza di una potenza garantisce la correttezza delle seguenti uguaglianze

t^2=(x^{5})^{2}= x^{5\cdot 2}=x^{10}

Grazie alla sostituzione l'equazione di decimo grado diventa

t^2-33t+32=0

Ci siamo quindi ricondotti a un'equazione di secondo grado nell'incognita t i cui coefficienti sono

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-33 \ \ \ , \ \ \ c=32

Calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-33)^2-4\cdot 1\cdot 32=961

Poiché il delta è positivo, l'equazione in t ammette due soluzioni reali e distinte, che ricaviamo con la relazione

t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-33)\pm\sqrt{961}}{2}=\begin{cases}\frac{33-31}{2}=1=t_1\\ \\ \frac{33+31}{2}=32=t_2\end{cases}

Le radici dell'equazione di secondo grado sono quindi

t=1 \ \ \ ,\  \ \ t=32

Ripristiniamo l'incognita x tenendo conto della sostituzione fatta. Poiché t=x^5 le relazioni precedenti si tramutano in due equazioni binomie

\\ t=1 \ \ \ \to \ \ \ x^{5}=1 \ \ \ \to \ \ \ x=1 \\ \\ t=32 \ \ \ \to \ \ \ x^{5}=32 \ \ \ \to \ \ \ x=2

Le soluzioni dell'equazione di decimo grado sono quindi x=1 \ \mbox{e} \ x=2 e rappresentano i valori che fanno perdere di significato l'equazione fratta.

In buona sostanza, l'insieme di esistenza delle soluzioni associato all'equazione fratta è definito dalle condizioni:

C.E.:\ x\ne 1\ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 2

dove \wedge è il connettivo logico che individua la congiunzione "e".

Avendo a disposizione le condizioni di esistenza, possiamo bellamente cancellare il denominatore dell'equazione fratta e considerare l'equazione

x^4-5x^2+4=0

Anch'essa è un'equazione trinomia in quanto gli esponenti con cui si presenta l'incognita, 4 e 2, sono l'uno il doppio dell'altro. Per risolverla ci avvarremo della sostituzione

s=x^2\ \ \ \to \ \ \ s^2=x^4

mediante la quale ricaviamo l'equazione di secondo grado nell'incognita s

s^2-5s+4=0

Indichiamo con a_{1}, \ b_{1} \ \mbox{e} \ c_1 i suoi coefficienti

a_1=1 \ \ \ ,  \ \ \ b_1=-5 \ \ \ , \ \ \ c_1=4

e calcoliamone il discriminante associato con la relazione

\Delta_1=b_1^2-4a_1c_1=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=25-16=9

Poiché il discriminante positivo, l'equazione in s ammette due soluzioni reali e distinte che ricaviamo con la formula

s_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2}=\begin{cases}\frac{5-3}{2}=1=s_{1}\\ \\ \frac{5+3}{2}=4=s_2\end{cases}

pertanto l'equazione è soddisfatta se

s=1\ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ s=4

È giunto il momento di ritornare nell'incognita x avvalendoci della sostituzione s=x^2 grazie alla quale le precedenti relazioni diventano equazioni pure

\\ s=1 \ \ \ \to \ \ \ x^2=1 \ \ \ \to \ \ \ x=\pm 1 \\ \\ s=4 \ \ \ \to \ \ \ x^2=4 \ \ \ \to \ \ \ x=\pm2

Avendo a disposizione i quattro valori

x=-2  \ \ , \ \ x=-1 \ \ , \ \ x=1 \ \ , \ \  x=2

bisogna comprendere quali tra essi rispettano le condizioni di esistenza: solo questi valori sono infatti soluzione dell'equazione data, mentre gli altri sono da scartare.

Dai vincoli del C.E. comprendiamo che le soluzioni dell'equazione fratta sono

x=-2 \ \ \ , \ \ \ x=-1

mentre x=1 \ \mbox{e}\ x=2 sono falsi positivi. L'insieme delle soluzioni associato all'equazione fratta è quindi:

S=\left\{-2,\ -1\right\}

Finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, francesco9494
  • Pagina:
  • 1
Os