Equazione logaritmica con il metodo grafico

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Equazione logaritmica con il metodo grafico #72326

avt
ermagnus95
Frattale
Ho bisogno di una mano per risolvere un'equazione con logaritmo che a ben vedere non può essere ricondotta a nessuna delle forme notevoli. Ciò mi induce a pensare che l'equazione non sia risolvibile elementarmente.

Determinare le eventuali soluzioni, o loro approssimazioni, della seguente equazione avvalendosi del metodo grafico se necessario.

\ln(x)-x+1=0

Grazie.
 
 

Equazione logaritmica con il metodo grafico #72343

avt
Omega
Amministratore
Prendiamo in esame l'equazione

\ln(x)-x+1=0

e osserviamo al primo membro compare sia un logaritmo, sia un polinomio di grado 1. Proprio perché non è possibile ricondurla a nessuna forma canonica, possiamo affermare che essa è un'equazione non risolvibile algebricamente e per poterla analizzare utilizzeremo il metodo grafico.

Prima di procedere, però, è necessario determinare l'insieme di esistenza delle soluzioni: affinché il logaritmo esista dobbiamo richiedere che il suo argomento sia maggiore di 0, ossia deve valere la condizione di esistenza

C.E.:\ x>0

Il prossimo passaggio consiste nel ricondurre l'equazione nella forma

f(x)=g(x)

dove f(x)\  \mbox{e}\ g(x) sono due espressioni che dipendono da x, ma attenzione: dobbiamo fare in modo che esse siano facili da rappresentare sul piano cartesiano Oxy.

In questo caso conviene esprimere l'equazione nella forma

\ln(x)=x-1

Dal punto di vista puramente algebrico, l'equazione ha il medesimo insieme soluzione del sistema

\begin{cases}y=\ln(x)\\ \\ y=x-1\end{cases}

pertanto basterà rappresentare il grafico della funzione logaritmica y=\ln(x) e quello della funzione lineare affine: se vi sono punti di intersezione, le ascisse di tali punti rappresentano le soluzioni esatte dell'equazione.

Il grafico della funzione y=\ln(x) è noto, mentre il grafico associato alla funzione lineare affine coincide con una retta con coefficiente angolare m=1 e ordinata all'origine q=1. Rappresentando entrambe le curve sul piano Oxy ricaviamo il seguente grafico:

Esercizi equazioni non risolvibili algebricamente III

In blu la funzione logaritmica, in rosso la funzione lineare affine.

Dalla rappresentazione ricaviamo che l'unico punto di intersezione è A(1,0), la cui ascissa x_{A}=1 rappresenta la soluzione esatta dell'equazione. Osserviamo infatti che per x=1, l'equazione diventa

\ln(1)-1+1=0\ \ \ \to \ \ \ 0=0

pertanto x=1 realizza l'equazione.

Osservazione: in generale, il metodo grafico non fornisce necessariamente le soluzioni esatte, anzi tale eventualità si verifica solo nei casi più semplici - come nell'esercizio in esame - in tutti gli altri casi ci accontenteremo di soluzioni approssimate.
Ringraziano: ermagnus95
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Os