Equazione logaritmica con x nella base #72159

avt
stef91
Punto
Mi trovo in difficoltà con un'equazione logaritmica in cui l'incognita x è presente nella base di un logaritmo:

log_(4) (2 x+3)+log_(2x+3) (4) = (5)/(2)

Ho provato ad applicare la formula del cambiamento di base ma poi non riesco a procedere.

Grazie a tutti.
 
 

Equazione logaritmica con x nella base #72173

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione logaritmica

log_(4) (2x+3)+log_(2x+3)(4) = (5)/(2)

dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza delle soluzioni. A tal proposito è sufficiente ricordare la definizione di logaritmo e richiedere che:

- l'argomento di ogni logaritmo sia positivo;

- la base di ogni logaritmo sia positiva e diversa da 1.

Vi sono due condizioni che vanno messe a sistema:

C.E. 2x+3 > 0 ; 2x+3 ≠ 1 → x > -(3)/(2) ; x ≠-1

Ok, possiamo procedere nella risoluzione dell'equazione. Conviene applicare la formula del cambiamento di base per i logaritmi, in particolare sul secondo addendo, in modo da riportare il logaritmo alla base 4

log_(4)(2x+3)+(log_(4)(4))/(log_(4)(2x+3)) = (5)/(2)

Il numeratore è 1, per cui ricaviamo

log_(4)(2x+3)+(1)/(log_(4)(2x+3)) = (5)/(2)

Fatto ciò conviene effettuare una sostituzione ponendo y = log_4(2x+3) mediante la quale l'equazione diventa

y+(1)/(y) = (5)/(2)

Non ci resta che trasportare tutti i termini al primo membro, calcolare il minimo comun denominatore e riscrivere l'equazione nella forma equivalente

(2y^2-5y+2)/(2y) = 0

Quest'ultima è un'equazione fratta di secondo grado: possiamo evitare di richiedere y ≠ 0 perché a ben vedere è una condizione già inclusa nelle CE imposte inizialmente.

Cancellando il numeratore ci ritroviamo con un'equazione di secondo grado

2y^2-5y+2 = 0

che ha soluzioni

y_(1,2) = (5±√(25-16))/(4) = 2 ; (1)/(2)

Ora non ci resta che tornare all'incognita x ed effettuare la sostituzione al contrario. In questo modo passiamo a due equazioni logaritmiche elementari

 log_4(2x+3) = 2 → 2x+3 = 4^2 → x = (13)/(2) ; log_4(2x+3) = (1)/(2) → 2x+3 = 4^((1)/(2)) → x = -(1)/(2)

e abbiamo finito, perché entrambe le soluzioni soddisfano le condizioni di esistenza.

Le soluzioni dell'equazione sono:

x = (13)/(2) , x = -(1)/(2)

Ecco fatto!
Ringraziano: stef91, CarFaby
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Os