Equazione logaritmica con x nella base

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Equazione logaritmica con x nella base #72159

avt
stef91
Punto
Mi trovo in difficoltà con un'equazione logaritmica in cui l'incognita x è presente nella base di un logaritmo:

\log_{4} (2 x+ 3) + \log_{2x + 3} (4) = \frac{5}{2}

Ho provato ad applicare la formula del cambiamento di base ma poi non riesco a procedere.

Grazie a tutti.
 
 

Equazione logaritmica con x nella base #72173

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione logaritmica

\log_{4} (2x+3)+\log_{2x+3}(4)=\frac{5}{2}

dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza delle soluzioni. A tal proposito è sufficiente ricordare la definizione di logaritmo e richiedere che:

- l'argomento di ogni logaritmo sia positivo;

- la base di ogni logaritmo sia positiva e diversa da 1.

Vi sono due condizioni che vanno messe a sistema:

\mbox{C.E.}\ \begin{cases}2x+3>0\\ \\ 2x+3\neq 1\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x>-\frac{3}{2}\\ \\ x\neq -1\end{cases}

Ok, possiamo procedere nella risoluzione dell'equazione. Conviene applicare la formula del cambiamento di base per i logaritmi, in particolare sul secondo addendo, in modo da riportare il logaritmo alla base 4

\log_{4}(2x+3)+\frac{\log_{4}(4)}{\log_{4}{(2x+3)}}=\frac{5}{2}

Il numeratore è 1, per cui ricaviamo

\log_{4}(2x+3)+\frac{1}{\log_{4}{(2x+3)}}=\frac{5}{2}

Fatto ciò conviene effettuare una sostituzione ponendo y=\log_4(2x+3) mediante la quale l'equazione diventa

y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}

Non ci resta che trasportare tutti i termini al primo membro, calcolare il minimo comun denominatore e riscrivere l'equazione nella forma equivalente

\frac{2y^2-5y+2}{2y}=0

Quest'ultima è un'equazione fratta di secondo grado: possiamo evitare di richiedere y\neq 0 perché a ben vedere è una condizione già inclusa nelle CE imposte inizialmente.

Cancellando il numeratore ci ritroviamo con un'equazione di secondo grado

2y^2-5y+2=0

che ha soluzioni

y_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\begin{cases}2\\ \frac{1}{2}\end{cases}

Ora non ci resta che tornare all'incognita x ed effettuare la sostituzione al contrario. In questo modo passiamo a due equazioni logaritmiche elementari

\\ \log_4(2x+3)=2\ \ \ \to\ \ \ 2x+3=4^2\ \ \ \to\ \ \ x=\frac{13}{2}\\ \\ \\ \log_4(2x+3)=\frac{1}{2}\ \ \ \to\ \ \ \ 2x+3=4^{\frac{1}{2}}\ \ \ \to\ \ \ x=-\frac{1}{2}

e abbiamo finito, perché entrambe le soluzioni soddisfano le condizioni di esistenza.

Le soluzioni dell'equazione sono:

x=\frac{13}{2}\ \ \ , \ \ \ x=-\frac{1}{2}

Ecco fatto!
Ringraziano: stef91, CarFaby
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Os