Equazione logaritmica con x nella base

Mi trovo in difficoltà con un'equazione logaritmica in cui l'incognita x è presente nella base di un logaritmo:



Ho provato ad applicare la formula del cambiamento di base ma poi non riesco a procedere.

Grazie a tutti.

Per risolvere l'equazione logaritmica



dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza delle soluzioni. A tal proposito è sufficiente ricordare la definizione di logaritmo e richiedere che:

- l'argomento di ogni logaritmo sia positivo;

- la base di ogni logaritmo sia positiva e diversa da 1.

Vi sono due condizioni che vanno messe a sistema:



Ok, possiamo procedere nella risoluzione dell'equazione. Conviene applicare la formula del cambiamento di base per i logaritmi, in particolare sul secondo addendo, in modo da riportare il logaritmo alla base 4



Il numeratore è 1, per cui ricaviamo



Fatto ciò conviene effettuare una sostituzione ponendo mediante la quale l'equazione diventa



Non ci resta che trasportare tutti i termini al primo membro, calcolare il minimo comun denominatore e riscrivere l'equazione nella forma equivalente



Quest'ultima è un'equazione fratta di secondo grado: possiamo evitare di richiedere perché a ben vedere è una condizione già inclusa nelle CE imposte inizialmente.

Cancellando il numeratore ci ritroviamo con un'equazione di secondo grado



che ha soluzioni



Ora non ci resta che tornare all'incognita ed effettuare la sostituzione al contrario. In questo modo passiamo a due equazioni logaritmiche elementari



e abbiamo finito, perché entrambe le soluzioni soddisfano le condizioni di esistenza.

Le soluzioni dell'equazione sono:



Ecco fatto!