Per risolvere l'
equazione logaritmica
dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza delle soluzioni. A tal proposito è sufficiente ricordare la definizione di
logaritmo e richiedere che:
- l'argomento di ogni logaritmo sia positivo;
- la base di ogni logaritmo sia positiva e diversa da 1.
Vi sono due condizioni che vanno messe a sistema:
Ok, possiamo procedere nella risoluzione dell'equazione. Conviene applicare la
formula del cambiamento di base per i logaritmi, in particolare sul secondo addendo, in modo da riportare il logaritmo alla base 4
Il numeratore è 1, per cui ricaviamo
Fatto ciò conviene effettuare una sostituzione ponendo

mediante la quale l'equazione diventa
Non ci resta che trasportare tutti i termini al primo membro, calcolare il minimo comun denominatore e riscrivere l'equazione nella forma equivalente
Quest'ultima è un'
equazione fratta di secondo grado: possiamo evitare di richiedere

perché a ben vedere è una condizione già inclusa nelle CE imposte inizialmente.
Cancellando il numeratore ci ritroviamo con un'
equazione di secondo grado
che ha soluzioni
Ora non ci resta che tornare all'incognita

ed effettuare la sostituzione al contrario. In questo modo passiamo a due equazioni logaritmiche elementari
e abbiamo finito, perché entrambe le soluzioni soddisfano le condizioni di esistenza.
Le soluzioni dell'equazione sono:
Ecco fatto!