Equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno, senza cos^2

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Equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno, senza cos^2 #72148

avt
FAQ
Punto
Mi è capitata un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno che non sono in grado di risolvere. Secondo il testo l'equazione non ammette soluzioni, mentre nella mia risoluzione ottengo due famiglie che la soddisfano: probabilmente sbaglio i calcoli.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione goniometrica di secondo grado

4\sin^2(x)-\sin(x)\cos(x)+3=0

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit
 
 

Equazione trigonometrica di secondo grado con seno e coseno, senza cos^2 #72174

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione goniometrica di secondo grado

4\sin^2(x)-\sin(x)\cos(x)+3=0

Per poterne ottenere le eventuali soluzioni utilizziamo la relazione fondamentale della goniometria

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

Se moltiplichiamo i suoi membri per 3 otteniamo infatti l'identità

3\sin^2(x)+3\cos^2(x)=3\ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

grazie alla quale l'equazione data diventa

4\sin^2(x)-\sin(x)\cos(x)+3\sin^2(x)+3\cos^2(x)=0

ossia

7\sin^2(x)-\sin(x)\cos(x)+3\cos^2(x)=0

Siamo ancora in presenza di un'equazione di secondo grado in termini di seno e coseno, ma a differenza della precedente questa è più precisamente un'equazione omogenea di grado due, per la quale esiste una ben precisa strategia risolutiva.

Essa prevede innanzitutto di controllare che i valori che annullano \cos(x) siano effettivamente soluzioni o meno: più esplicitamente ci chiediamo se

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

è una famiglia di soluzioni associati all'equazione. Per poter rispondere in maniera elegante, è sufficiente ricordare che se \cos(x)=0 allora la relazione fondamentale della goniometria assicura che:

\sin(x)=-1 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \sin(x)=1

Se sostituiamo 0 a \cos(x) e -1 a \sin(x), l'equazione diventa

7\cdot (-1)-(-1)\cdot 0+3\cdot 0=0 \ \ \ \to \ \ \ 7=0

che è chiaramente un'uguaglianza falsa. Otteniamo la stessa identica relazione se a \cos(x) sostituiamo 0 e a \sin(x) sostituiamo 1: in entrambi i casi, i valori che annullano il coseno non soddisfano l'equazione data.

Per \cos(x)\ne 0, ossia se

x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

siamo autorizzati a dividere i due membri per \cos^2(x): è il cuore del metodo, infatti grazie a esso ci riconduciamo a un'equazione espressa in termini di tangente, però è meglio non bruciare troppo le tappe e procediamo con cautela

7\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}+3\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=0

Una volta semplificati a dovere i termini al primo membro, l'equazione si riscrive come

7\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}+3=0

Ricordiamo che per definizione la tangente è il rapporto tra seno e coseno, vale a dire

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \ \ \ \mbox{con} \ x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi

pertanto l'equazione può essere espressa in maniera equivalente come

7\tan^2(x)-\tan(x)+3=0

Al fine di semplificare le notazioni, operiamo la sostituzione

t=\tan(x) \ \ \ \to \ \ \ t^2=\tan^2(x)

grazie alla quale la precedente relazione si trasforma nell'equazione di secondo grado

7t^2-t+3=0

i cui coefficienti sono

a=7\ \ \ , \ \ \ b=-1\ \ \ , \ \ \ c=3

Per ricavare le eventuali soluzioni in t, calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 7\cdot 3=-83

Poiché il Delta è negativo, l'equazione di secondo grado in t non ammette soluzioni reali, pertanto è impossibile. Proprio per questo motivo, anche l'equazione di partenza è impossibile e il suo insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto.

S=\emptyset

Esercizio risolto.
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