Equazione trigonometrica con il metodo grafico

Dovrei risolvere un'equazione al primo membro della quale compare la differenza tra seno e un monomio. Il mio problema risiede nel fatto che non riesco a ricondurla a una tipologia notevole di equazioni trigonometriche e dopo svariati tentativi, ho perso le speranze: devo necessariamente utilizzare il metodo grafico, ma come?

Determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione, avvalendosi del metodo grafico se la situazione lo richiede.



Grazie.

Siamo effettivamente in presenza di un'equazione non risolvibile elementarmente, infatti



non può essere ricondotta ad alcuna tipologia di equazioni di cui è noto il metodo risolutivo. Sfruttiamo quindi il metodo grafico che consiste nell'esprimere l'equazione nella forma



dove sono due funzioni che dipendono dalla variabile e di cui è facile tracciarne il grafico, dopodiché tracceremo i loro grafici sul medesimo piano cartesiano, individueremo gli eventuali punti di intersezione le cui ascisse rappresentano le soluzioni.

In questo caso è sufficiente isolare la funzione seno al primo membro e riscrivere l'equazione nella forma



Dal punto di vista algebrico, essa è la risolvente del sistema non lineare



ecco perché le soluzioni dell'equazione coincidono con le ascisse dei punti di intersezione tra i grafici delle due funzioni. Tracciare il grafico del seno non dovrebbe essere un problema: dovrebbe essere noto! Per quanto concerne



essa individua la retta con coefficiente angolare e ordinata all'origine : osserviamo che essa è l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante.

Una volta riportati i grafici delle due funzioni, otterremo:


Le due curve si intersecano in un solo punto , la cui ascissa è soluzione dell'equazione, infatti se , l'equazione diventa



In questa occasione particolare, siamo stati in grado di determinare effettivamente la soluzione esatta dell'equazione, però è stato un caso fortuito, fortunato, in generale dovremo accontentarci di un'approssimazione della soluzione.

Osservazione: è opportuno infine sottolineare che la limitatezza della funzione seno garantisce che all'infuori dell'intervallo non possono sussistere soluzioni, infatti poiché



affinché esista che soddisfa l'equazione



dovremo richiedere che anche il secondo membro dell'equazione sia limitato tra .