Equazione trigonometrica con il metodo grafico

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Equazione trigonometrica con il metodo grafico #71982

avt
Leonard89
Punto
Dovrei risolvere un'equazione al primo membro della quale compare la differenza tra seno e un monomio. Il mio problema risiede nel fatto che non riesco a ricondurla a una tipologia notevole di equazioni trigonometriche e dopo svariati tentativi, ho perso le speranze: devo necessariamente utilizzare il metodo grafico, ma come?

Determinare le eventuali soluzioni della seguente equazione, avvalendosi del metodo grafico se la situazione lo richiede.

\sin(x)-x=0

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con il metodo grafico #72121

avt
Omega
Amministratore
Siamo effettivamente in presenza di un'equazione non risolvibile elementarmente, infatti

\sin(x)-x=0

non può essere ricondotta ad alcuna tipologia di equazioni di cui è noto il metodo risolutivo. Sfruttiamo quindi il metodo grafico che consiste nell'esprimere l'equazione nella forma

f(x)=g(x)

dove f(x)\ \mbox{e} \ g(x) sono due funzioni che dipendono dalla variabile x e di cui è facile tracciarne il grafico, dopodiché tracceremo i loro grafici sul medesimo piano cartesiano, individueremo gli eventuali punti di intersezione le cui ascisse rappresentano le soluzioni.

In questo caso è sufficiente isolare la funzione seno al primo membro e riscrivere l'equazione nella forma

\sin(x)=x

Dal punto di vista algebrico, essa è la risolvente del sistema non lineare

\begin{cases}y=\sin(x)\\ \\ y=x\end{cases}

ecco perché le soluzioni dell'equazione coincidono con le ascisse dei punti di intersezione tra i grafici delle due funzioni. Tracciare il grafico del seno non dovrebbe essere un problema: dovrebbe essere noto! Per quanto concerne

y=x

essa individua la retta con coefficiente angolare m=1 e ordinata all'origine q=0: osserviamo che essa è l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante.

Una volta riportati i grafici delle due funzioni, otterremo:

Esercizi equazioni non risolvibili algebricamente IV

Le due curve si intersecano in un solo punto A(x_A,y_A), la cui ascissa x_{A}=0 è soluzione dell'equazione, infatti se x=0, l'equazione diventa

\sin(0)-0=0 \ \ \ \to \ \ \ 0=0

In questa occasione particolare, siamo stati in grado di determinare effettivamente la soluzione esatta dell'equazione, però è stato un caso fortuito, fortunato, in generale dovremo accontentarci di un'approssimazione della soluzione.

Osservazione: è opportuno infine sottolineare che la limitatezza della funzione seno garantisce che all'infuori dell'intervallo [-1,1] non possono sussistere soluzioni, infatti poiché

-1\le\sin(x)\le 1

affinché esista x che soddisfa l'equazione

\sin(x)=x

dovremo richiedere che anche il secondo membro dell'equazione sia limitato tra -1\ \mbox{e} \ 1.
Ringraziano: CarFaby
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Os